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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Nullstellen
Nullstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Mi 07.10.2015
Autor: mathegenie_90

Hallo liebe Forumfreunde,

ich habe mal eine ganz allg. Frage:

in meinem Lehrbuch steht folgendes:

1.) [mm] r^{2}+3r-180=0 [/mm]

2.) (r+15)(r-12)  =0

wie komme ich denn ohne weitere Rechnungen von 1.) auf 2.)? geht das überhaupt? falls ja, gibt's da ne allg. Regel zu?

vielen dank im voraus und mit besten grüßen,
danyal

        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mi 07.10.2015
Autor: Valerie20


> Hallo liebe Forumfreunde,

>

> ich habe mal eine ganz allg. Frage:

>

> in meinem Lehrbuch steht folgendes:

>

> 1.) [mm]r^{2}+3r-180=0[/mm]

>

> 2.) (r+15)(r-12) =0

>

> wie komme ich denn ohne weitere Rechnungen von 1.) auf 2.)?
> geht das überhaupt? falls ja, gibt's da ne allg. Regel zu?

Dein Polynom wurde in seine Linearfaktoren zerlegt.
Die Lösungen sind -15 und 12.

Um von 1. nach 2. zu kommen, musst du dir die Nullstellen des Polynoms berechnen. 

Hier wird das recht schön erklärt:

https://www.youtube.com/watch?v=TgVCdS8SLQ8

Bezug
        
Bezug
Nullstellen: Satz von Vieta
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mi 07.10.2015
Autor: Roadrunner

Hallo Danyal!


Hinter Deiner Fragestellung lauert quasi der MBSatz von VIETA.


Gruß vom
Roadrunner

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Bezug
Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Mi 07.10.2015
Autor: fred97


> Hallo Danyal!
>  
>

Hallo Roadrunner,


> Hinter Deiner Fragestellung lauert quasi der MBSatz > von VIETA.

Ist damit denn viel gewonnen ?

Sind [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] die Lösungen der Gleichung

   (1) $ [mm] r^{2}+3r-180=0 [/mm] $,

so gilt nach Vieta

   (2)  [mm] $3=-r_1-r_2$ [/mm]

und

   (3) [mm] $r_1r_2=-180$. [/mm]

Möchte man [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] mit den Gleichungen (2) und (3) bestimmen, so kann man so vorgehen: multipliziert man die Gleichung (1) mit [mm] r_1 [/mm] und beachtet (2), so kommt

  $ [mm] r_1^{2}+3r_1-180=0 [/mm] $.

Oh weh, da waren wir doch schon, siehe (1).

Um die Formel von Pee Quu kommt man also nicht herum.

Gruß FRED


    

>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Mi 07.10.2015
Autor: HJKweseleit

Wenn(!!) die Lösungen der quadrat. Gleichung beide ganzzahlig sind, muss deren Produkt 180 und deren Summe oder Differenz 3 ergeben.
Du versuchst also zuerst, 180 als Produkt von 2 Zahlen zu schreiben, die um 3 auseinander liegen:
10*13=130
11 -  (geht nicht ganzzahlig in 180)
12 * 15 = 180

Aha!  

Daher:(x-12)(x+15), denn (-12)*(15)=-180 und -12+15=3 passt.


Ein sehr schönes Beispiel, um alle Möglichkeiten darzustellen, ist

[mm] x^2+5x+6 [/mm]   bzw.
[mm] x^2+5x-6 [/mm]   bzw.
[mm] x^2-5x+6 [/mm]   bzw.
[mm] x^2-5x-6 [/mm]   bzw.

6 ist sowohl 1*6 als auch 2*3.

[mm] x^2+5x+6 [/mm] Hier müssen beide Zahlen gleiches Vorzeichen haben (+6) und zusammen +5 geben, also 2 und 3.
[mm] x^2+5x+6 [/mm] =(x+2)(x+3)

[mm] x^2+5x-6 [/mm]  Hier müssen beide Zahlen verschiedene Vorzeichen haben (-6) und zusammen +5 geben, also 6 und -1.
[mm] x^2+5x-6 [/mm] = (x+6)(x-1)

[mm] x^2-5x+6 [/mm] Hier müssen beide Zahlen gleiches Vorzeichen haben (+6) und zusammen -5 geben, also -2 und -3.
[mm] x^2-5x+6 [/mm] =(x-2)(x-3)

[mm] x^2-5x-6 [/mm] Hier müssen beide Zahlen verschiedenes Vorzeichen haben (-6) und zusammen -5 geben, also 1 und -6.
[mm] x^2-5x-6 [/mm] =(x+1)(x-6).







Bezug
                
Bezug
Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:23 Do 08.10.2015
Autor: mathegenie_90

vielen Dank Euch allen ! :)

hat mir alles sehr geholfen

lg
danyal

Bezug
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