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Forum "Topologie und Geometrie" - Offen unter kanonischer Proj.
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Offen unter kanonischer Proj.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:24 Fr 24.10.2014
Autor: Peter_123

Aufgabe
Sei [mm] \mathbb{R} [/mm] versehen mit der euklidischen Topologie O. Betrachte auf [mm] \mathbb{R} [/mm] die Äquivalenzrelation
x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\gdw [/mm] x-y [mm] \in \mathbb{Z}. [/mm] Sei T die finale Topologie auf [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] bzg. der kanonischen Projektion
[mm] \pi :(\mathbb{R},O) \to \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] , $x [mm] \mapsto [/mm] x + [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]

zeige, dass [mm] \pi [/mm] eine offene Abbildung ist. Wie sieht dies für abgeschlossene Mengen aus? (also ist das Bild jeder abg. Menge wieder abgeschlossen?)

Zeige weiters, dass :

[mm] $\psi [/mm] : x + [mm] \mathbb{Z} \to e^{2\pi ix}$ [/mm] ein Homöomorphismus von [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] auf T := [mm] \{z \in \mathbb{C} : |z| =1 \} [/mm] ist.




Hallo,


Leider fällt mir derweil dazu gar nix ein - habt ihr eventuell ein paar Denkanstöße?


Lg

Peter_123


naja ein paar Kleinigkeiten sind mir nun doch eingefallen..

Sei U [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] offen. Es ist zz, dass [mm] \pi(U) \subseteq \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] offen ist.

[mm] \pi(U) \in T_{fin} \gdw \pi^{-1}(\pi(U)) \in [/mm] O.


also zeigen wir [mm] \pi^{-1}(\pi(U)) [/mm] ist offen in [mm] \mathbb{R} [/mm]

[mm] \pi^{-1}(\pi(U)) [/mm] = [mm] \{ x \in \mathbb{R} : \pi(x) \subseteq \pi(U) = \{y + \mathbb{Z} : y \in U \}\} [/mm]
= [mm] \{x \in \mathbb{R} : \exists y \in U | \pi(x) = \pi(y) \} [/mm] = U + [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \bigcup_{z \in \mathbb{Z}} [/mm] z + U.

und dies ist offen.

zum anderen Teil:

zz
1) [mm] \psi [/mm] ist wohldefiniert: das ist aber klar weil : [mm] \psi(x) [/mm] = [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi x+k} [/mm] = [mm] \psi(y) [/mm] , k:= x-y [mm] \in \mathbb{Z} [/mm]
2) [mm] \psi [/mm] ist injektiv : [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi iy} \gdw [/mm] x=y+k mit k [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] und da a [mm] \mapsto e^{ia} [/mm] Periode [mm] 2\pi [/mm] hat folgt das [mm] \psi [/mm] injektiv ist.
3) surjektiv - m.E. klar - meint ihr sollte das ausgeführt werden?

zur Stetigkeit:

Das [mm] \psi [/mm] stetig ist .. klar : da ja [mm] \psi \circ \pi [/mm] : [mm] \mathbb{R} \to [/mm] T : x [mm] \mapsto e^{2\pi ix} [/mm] - stetig ist.

für die Umkehrabb. ... gibts da was besseres als:
[mm] (\psi^{-1})^{-1} [/mm] (U) [mm] \subseteq [/mm] T ?




        
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Sa 25.10.2014
Autor: Peter_123

Also die Sache mit der abgeschlossenen Abbildung muss ich mir noch überlegen bzw. Habt ihr dazu Ideen ?

Ebenso für die Umkehrfunktion [mm] \psi^{-1}. [/mm]


Wäre dankbar für Tipps.

Lg

Peter

Bezug
                
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Sa 25.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Zu 2.: Betrachte die offensichtliche stetige surjektive Abbildung [mm] $f:\IR\longrightarrow S^1$ [/mm] und zeige, dass die hierdurch definierte Äquivalenzrelation auf [mm] $\IR [/mm] $ mit der der Aufgabenstellung übereinstimmt (dies ist dieselbe Rechnung, mit der du Wohldefiniertheit deiner Abbildung nachgerechnet hast) und dass die induzierte Quotiententopologie mit der der Aufgabenstellung übereinstimmt.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:44 Sa 25.10.2014
Autor: Peter_123


> Zu 2.: Betrachte die offensichtliche stetige surjektive
> Abbildung [mm]f:\IR\longrightarrow S^1[/mm] und zeige, dass die
> hierdurch definierte Äquivalenzrelation auf [mm]\IR[/mm] mit der
> der Aufgabenstellung übereinstimmt (dies ist dieselbe
> Rechnung, mit der du Wohldefiniertheit deiner Abbildung
> nachgerechnet hast) und dass die induzierte
> Quotiententopologie mit der der Aufgabenstellung
> übereinstimmt.
>  
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt

Du meinst also aus der Stetigkeit von $x [mm] \mapsto e^{2\pi ix}$ [/mm] und der Konstanz auf den Äquivalenzklassen folgt auch , dass [mm] \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} \to S^{1}:[x] \mapsto e^{2\pi ix} [/mm] , stetig ist?


Lg

Peter

Bezug
                                
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 27.10.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:50 Sa 25.10.2014
Autor: Peter_123

also ich versuche mal zu zeigen, dass [mm] \psi [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist und [mm] \psi [/mm] / [mm] \psi^{-1} [/mm] stetig sind.


1) Die Wohldefiniertheit liegt irgendwie auf der Hand, da ja sozusagen lediglich um die Periode [mm] 2\pi [/mm] gedreht wird unabhängig davon welchen Repr. ich in die Funktion reinwerfe. Ist zb [mm] x_{0} [/mm] = 1.4 und [mm] x_{1} [/mm] = 0.4 dann drehe ich einmal um 1.4 bis zum Punkt , aber das ist ja gleich wie wenn ich eben nur um 0.4 drehe - ich erreiche immer den gleichen Punkt (sofern ich das nicht falsch verstehe)

also: [mm] \psi(x) [/mm] = [mm] e^{2\pi ix} [/mm] = [mm] e^{2\pi i (x+k)} [/mm] = [mm] \psi(y) [/mm] , mit x-y=k [mm] \in \mathbb{Z} [/mm]

2) Surjektivität

für ein beliebiges $x [mm] \in \mathbb{R}$ \Rightarrow $\exists x_{1} \in [/mm] [0,1)$ mit $ [mm] x_{1} \sim [/mm] x $ (was entweder 0 ist, wenn schon x  [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] oder sonst ein [mm] x_{1} \in [/mm] (0,1)) - also ist [mm] f([x_{1}]_{\sim}) [/mm] := [mm] e^{2\pi i x} [/mm]

3) Injektivität

Wir betrachten [mm] e^{2\pi i x} [/mm] = [mm] e^{2\pi i y} [/mm] .
Auch hier folgt die Existenz eines a [mm] \in [/mm] [0,1) mit [mm] a\sim [/mm] x , [mm] a\sim [/mm] y und damit x = y (durch Symm. und Trans. von [mm] \sim) [/mm]

4) Stetigkeit von [mm] \psi [/mm] :

[mm] \psi [/mm] stetig [mm] \gdw \psi \circ \pi [/mm] : [mm] \mathbb{R} \to [/mm] T stetig, dies ist aber sichtlich , da $x [mm] \mapsto e^{2\pi i x}$ [/mm] stetig ist.

5) Stetigkeit der Umkehrabb.

Sei U [mm] \subseteq \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z} [/mm] offen.

zz. [mm] $\underbrace{(\psi^{-1})^{-1}(U)}_{=\psi(U)} \subseteq [/mm] T $ ist offen.

[mm] \psi(U) [/mm] = [mm] \psi(\pi(\underbrace{\pi^{-1}(U)}_{=:V \subseteq \mathbb{R}})) [/mm] = [mm] \{e^{2\pi i x} : x \in V \subseteq \mathbb{R}\} [/mm]

[mm] \Rightarrow \pi(\pi^{-1}(U)) [/mm] = U

wähle [mm] e^{2\pi i x} \in \psi(U) [/mm]
[mm] $\exists \delta [/mm] >0 : [mm] (x-\delta, x+\delta) \subseteq [/mm] V$

z.z [mm] $\exists [/mm] a>0 : [mm] U_{a}(e^{2\pi i x}) \cap [/mm] T [mm] \subseteq \{e^{2\pi i y} : y \in (x-\delta, x+\delta) \} \subseteq \psi(U)$ [/mm]

was sagt ihr bis hier?

Gruß Peter

Bezug
                
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 27.10.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Offen unter kanonischer Proj.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 26.10.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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