Optimierung des Erwartungswert < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo Leute,
ich lese gerade ein (finanz)mathematisches Paper, verstehe aber eine Bemerkung nicht. Die Berechnung stand kommentarlos im Paper. Vielleicht könnt Ihr mir helfen. Danke schonmal!
LG, mathestudent111 |
Sei S(t) ein stochastischer Prozess und wir haben folgendes Optimierungsproblem [mm] h_{H} [/mm] (dabei sind C und h Funktionen, [mm] T_{m} [/mm] kann man als einen Zeitpunkt ansehen):
[mm] h_{H}=min_{h \in H} E[(C(T_{m})-h(S(T_{m})))^{2}].
[/mm]
Falls man nun [mm] H=L^{2}((S(T_{m})) [/mm] setzt, dann erhält man folgende Lösung:
[mm] h_{H}=E[C(T_{m}) [/mm] | [mm] \sigma(S(T_{m}))] [/mm] (sigma-Algebra).
Welche Hilfsmittel braucht man für diesen Beweis? Danke schonmal.
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Hiho,
> Welche Hilfsmittel braucht man für diesen Beweis? Danke schonmal.
das kommt darauf an, wie ihr die bedingte Erwartung eingeführt habt.
Unter Umständen entspricht das einfach eurer Definition.
Ansonsten ist das ein Beweis, den ihr bestimmt gemacht habt.
Der bedingte Erwartungswert ist nämlich gerade die orthogonale [mm] $L^2$-Projektion [/mm] der gegebenen Zufallsvariable auf die bezüglich der zugrunde liegenden Sigma-Algebra meßbaren Funktionen.
Gruß,
Gono.
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Ja stimmt. Habe mir gerade die Definition rausgesucht. Danke.
>
> [mm]h_{H}=E[C(T_{m})[/mm] | [mm]\sigma(S(T_{m}))][/mm] (sigma-Algebra).
Aber wie kommt es denn, dass bei der Lösung falls ich [mm] H=L^{2}((S(T_{m})) [/mm] wähle, das Quadrat im Erwartungswert wegfällt?
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Hiho,
> Ja stimmt. Habe mir gerade die Definition rausgesucht.
> Danke.
>
> >
> > [mm]h_{H}=E[C(T_{m})[/mm] | [mm]\sigma(S(T_{m}))][/mm] (sigma-Algebra).
> Aber wie kommt es denn, dass bei der Lösung falls ich
> [mm]H=L^{2}((S(T_{m}))[/mm] wähle, das Quadrat im Erwartungswert wegfällt?
Du darfst die bedingte Erwartung nicht mit einem bzw dem ersten Erwartungswert gleichsetzen. Der Erwartungswert ist eine reelle Zahl, die bedingte Erwartung ist eine Zufallsvariable.
Deine Gleichung:
[mm]h_{H}=E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))][/mm]
ist also falsch!
Sondern es gilt [mm] $E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))]$ [/mm] minimiert den Ausdruck [mm] E[(C(T_{m})-h(S(T_{m})))^{2}] [/mm] über alle [mm] $h(S(T_{m}))$
[/mm]
D.h. setzt du [mm] $h(S(T_{m})) [/mm] = [mm] E[C(T_{m})|\sigma(S(T_{m}))]$, [/mm] so minimiert dieses h den obigen Ausdruck, d.h. es gilt:
$ [mm] h_{H}=\min_{h \in H} E[\left(C(T_{m})-h(S(T_{m}))\right)^{2}] [/mm] = [mm] E[\left(C(T_{m})-E[C(T_{m})| \sigma(S(T_{m}))]\right)^{2}]$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hey Gono, danke nochmal :)
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