www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Orthogonale Matrizen
Orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Sa 11.06.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien” Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt. Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?

a)

[mm] A=\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22}} [/mm]

b)

[mm] A=\pmat{ \bruch{1}{4} & \* \\ \* & \*} [/mm]

Ich nehme an, dass dieses [mm] \* [/mm] die freien Koeffizienten darstellen soll. Ich verstehe nicht wieso die freien Koeffizienten bei den beiden Matrizen unterschiedlich dargestellt werden. Aber ist ja auch egal

a)

Bei orthogonalen Matrizen muss der Betrag der Spaltenvektoren geich 1 sein:

[mm] 1=\wurzel{a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_{11}=\bruch{15}{16} [/mm]

[mm] 1=\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+a_{22}^2} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_{22}=\bruch{15}{16} [/mm]

stimmt die Lösung? mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?

        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Sa 11.06.2016
Autor: Jule2

Hi!!
Es muss doch für eine orthogonale Matrix Q gelten: [mm] Q*Q^{T}=I [/mm] !!!
Überprüfe also dies und du erhältst die richtige Lösung!!!
LG

Bezug
        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Sa 11.06.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie bei folgenden Matrizen die “freien”
> Koeffizienten so, dass sich eine orthogonale Matrix ergibt.
> Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils?
>  
> a)
>
> [mm]A=\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22}}[/mm]
>  
> b)
>  
> [mm]A=\pmat{ \bruch{1}{4} & \* \\ \* & \*}[/mm]
>  Ich nehme an, dass
> dieses [mm]\*[/mm] die freien Koeffizienten darstellen soll. Ich
> verstehe nicht wieso die freien Koeffizienten bei den
> beiden Matrizen unterschiedlich dargestellt werden. Aber
> ist ja auch egal
>  
> a)
>  
> Bei orthogonalen Matrizen muss der Betrag der
> Spaltenvektoren geich 1 sein:
>  
> [mm]1=\wurzel{a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a_{11}=\bruch{15}{16}[/mm]
>  
> [mm]1=\wurzel{(\bruch{1}{4})^2+a_{22}^2}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow a_{22}=\bruch{15}{16}[/mm]
>  
> stimmt die Lösung?


Nein, rechne nochmal  behutsam nach und beherzige

   [mm] \wurzel {x^2}=|x| [/mm]

fred


> mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?


Bezug
                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Sa 11.06.2016
Autor: Rebellismus

richtig wäre:

[mm] a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}} [/mm]

[mm] a_{22}=\wurzel{\bruch{15}{16}} [/mm]

Mehr möglichkeiten gibt es nicht oder?


Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Sa 11.06.2016
Autor: Stala

Deine Lösung ist nicht richtig, mache doch einfach mal die Probe...

Schon an der Determinante scheitert es, die ist nämlich nicht 1 sondern [mm] \bruch{14}{16} [/mm]

Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:

A * [mm] A^T [/mm] = [mm] I_2 [/mm]

dann erhältst du auch die richtigen Lösungen

VG

Bezug
                                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Sa 11.06.2016
Autor: Rebellismus


>  
> Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:
>  
> A * [mm]A^T[/mm] = [mm]I_2[/mm]
>  
> dann erhältst du auch die richtigen Lösungen

Es gilt dann:

[mm] \pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }*\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 } [/mm]

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

[mm] a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1 [/mm]

[mm] a_{11}*\bruch{1}{4}+a_{22}*\bruch{1}{4}=0 [/mm]

Daraus folgt:

[mm] a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}}=\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm]

[mm] a_{22}=-\wurzel{\bruch{15}{16}}=-\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm]

Mit diesen Lösungen ist auch der BETRAG der Determinante gleich 1. Also sollte die Lösung stimmen.

In der Aufgabe wird zusätzlich nach weiteren möglichkeiten gefragt

Eine weiter möglichkeit wäre doch:

[mm] a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm]

[mm] a_{22}=\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm]

Ich habe einfach die vorzeichen vertauscht.

mehr als diese Möglichkeiten gibt es nicht oder?

Bezug
                                        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:44 So 12.06.2016
Autor: angela.h.b.


> >  

> > Nutze die Definition der orthogonalen Matrix:
>  >  
> > A * [mm]A^T[/mm] = [mm]I_2[/mm]
>  >  
> > dann erhältst du auch die richtigen Lösungen
>  

Moin,

> Es gilt dann:
>  
> [mm]\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }*\pmat{ a_{11} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{4} & a_{22} }=\pmat{ 1 & 0\\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Daraus ergeben sich die Gleichungen:
>  
> [mm]a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1[/mm]
>  
> [mm]a_{11}*\bruch{1}{4}+a_{22}*\bruch{1}{4}=0[/mm]

Da fehlt doch noch eine!

>  
> Daraus folgt:
>  
> [mm]a_{11}=\wurzel{\bruch{15}{16}}=\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]

Nein.

Aus [mm] a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1 [/mm]  folgt
[mm] a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=\red{-}\bruch{\wurzel{15}}{4}, [/mm]

die zweite Gleichung liefert Dir die zugehörigen [mm] a_2_2, [/mm]

und dann ist die dritte Gleichung ja auch noch zu berücksichtigen.

Im Prinzip hast Du das ja auch schon herausgefunden.
Aber der Gedanke, den Du notiert hast, daß nämlich aus [mm] a_{11}^2=\bruch{15}{16} [/mm] folgt, daß [mm] a_1_1=\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm] ist falsch.

LG Angela

>  
> [mm]a_{22}=-\wurzel{\bruch{15}{16}}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>  
> Mit diesen Lösungen ist auch der BETRAG der Determinante
> gleich 1. Also sollte die Lösung stimmen.
>  
> In der Aufgabe wird zusätzlich nach weiteren
> möglichkeiten gefragt
>  
> Eine weiter möglichkeit wäre doch:
>  
> [mm]a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>  
> [mm]a_{22}=\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>  
> Ich habe einfach die vorzeichen vertauscht.
>  
> mehr als diese Möglichkeiten gibt es nicht oder?


Bezug
                                                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 So 12.06.2016
Autor: Rebellismus


>  
> Aus [mm]a_{11}^2+(\bruch{1}{4})^2=1[/mm]  folgt
> [mm]a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4},[/mm]


du meinst bestimmt

[mm]a_{11}=\bruch{\wurzel{15}}{4}\quad \red{oder} \quad a_{11}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]

Bezug
        
Bezug
Orthogonale Matrizen: aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 So 12.06.2016
Autor: Rebellismus

Beitrag wird bearbeitet, bitte nicht antworten
Bezug
                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 So 12.06.2016
Autor: Rebellismus

für aufgabe b) gilt:

[mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }*\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

Gleichung 1: [mm] (\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1 [/mm]

Gleichung 2: [mm] \bruch{1}{4}*b_{21}+b_{12}*b_{22}=0 [/mm]

Gleichung 3: [mm] b_{21}^2+b_{22}^2=1 [/mm]

Aus Gleichung 1 folgt:

[mm] b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm]

Aus Gleichung 2 folgt dann:

[mm] \bruch{1}{4}*b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})*b_{22}=0 [/mm]

[mm] b_{21}+(\pm\wurzel{15})*b_{22}=0 [/mm]

[mm] b_{21}=-(\pm\wurzel{15})*b_{22} [/mm]

Aus Gleichung 3 folgt dann:

[mm] (-(\pm\wurzel{15})*b_{22})^2+b_{22}^2=1 [/mm]

[mm] 15*b_{22}^2+b_{22}^2=1 [/mm]

[mm] b_{22}=\bruch{1}{4} [/mm]

Daraus folgt für die Lösungen:

[mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4} [/mm]

ODER

[mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4} [/mm]

stimmt die Lösung?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mo 13.06.2016
Autor: Jule2

Sieht gut aus fehlt aber noch was!
LG

Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mo 13.06.2016
Autor: angela.h.b.


> für aufgabe b) gilt:
>  
> [mm]\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }*\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Daraus ergeben sich die Gleichungen:
>  
> Gleichung 1: [mm](\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1[/mm]
>  
> Gleichung 2: [mm]\bruch{1}{4}*b_{21}+b_{12}*b_{22}=0[/mm]
>  
> Gleichung 3: [mm]b_{21}^2+b_{22}^2=1[/mm]
>  
> Aus Gleichung 1 folgt:
>  
> [mm]b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4}[/mm]
>  
> Aus Gleichung 2 folgt dann:
>  
> [mm]\bruch{1}{4}*b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})*b_{22}=0[/mm]
>  
> [mm]b_{21}+(\pm\wurzel{15})*b_{22}=0[/mm]
>  
> [mm]b_{21}=-(\pm\wurzel{15})*b_{22}[/mm]
>  
> Aus Gleichung 3 folgt dann:
>  
> [mm](-(\pm\wurzel{15})*b_{22})^2+b_{22}^2=1[/mm]
>  
> [mm]15*b_{22}^2+b_{22}^2=1[/mm]
>  
> [mm]b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]

Hallo,

Du machst wieder den gleichen Fehler wie schon einmal zuvor:

aus [mm] 16b_2_2^2=1 [/mm] folgt, daß [mm] b_2_2=\bruch{1}{4} [/mm] oder [mm] b_2_2=-\bruch{1}{4}. [/mm]

LG Angela

>  
> Daraus folgt für die Lösungen:
>  
> [mm]b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> ODER
>  
> [mm]b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}, b_{22}=\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> stimmt die Lösung?


Bezug
                                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:08 Mo 13.06.2016
Autor: Rebellismus

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei aufgabe b) ? Ich komme auf 4 Möglichkeiten.

Aufgabe a) hat 2 Möglichkeiten

Bezug
                
Bezug
Orthogonale Matrizen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Di 14.06.2016
Autor: Rebellismus

$ [mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }\cdot{}\pmat{ \bruch{1}{4} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $

Daraus ergeben sich die Gleichungen:

Gleichung 1: $ [mm] (\bruch{1}{4})^2+b_{12}^2=1 [/mm] $

Gleichung 2: $ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}b_{21}+b_{12}\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $

Gleichung 3: $ [mm] b_{21}^2+b_{22}^2=1 [/mm] $

Aus Gleichung 1 folgt:

$ [mm] b_{12}=\pm\bruch{\wurzel{15}}{4} [/mm] $

Aus Gleichung 2 folgt dann:

$ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}b_{21}+(\pm\bruch{\wurzel{15}}{4})\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $

$ [mm] b_{21}+(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22}=0 [/mm] $

$ [mm] b_{21}=-(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22} [/mm] $

Aus Gleichung 3 folgt dann:

$ [mm] (-(\pm\wurzel{15})\cdot{}b_{22})^2+b_{22}^2=1 [/mm] $

$ [mm] 15\cdot{}b_{22}^2+b_{22}^2=1 [/mm] $

$ [mm] b_{22}=\pm\bruch{1}{4} [/mm] $

Da [mm] b_{22} [/mm] unabhängig vom Vorzeichen von [mm] b_{21} [/mm] ist, gibt es 4 Lösungsmöglichkeiten:

Lösung 1: [mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=\bruch{1}{4} [/mm]

Lösung 2: [mm] b_{12}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=-\bruch{1}{4} [/mm]

Lösung 3: [mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=\bruch{1}{4} [/mm]

Lösung 4: [mm] b_{12}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{21}=-\bruch{\wurzel{15}}{4}; b_{22}=-\bruch{1}{4} [/mm]

Ist die Lösung jetzt richtig?

Bezug
                        
Bezug
Orthogonale Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Di 14.06.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Deine Lösungen stimmen.

LG Angela

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de