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Partialbruchzerlegung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Fr 25.07.2014
Autor: Smuji

Aufgabe
Sei f(x) = [mm] x^{4} -5x^{2} [/mm] - 36

a) Zerlegen sie f(x) in Faktoren von möglichst niedrigem Grad.
b) Zerlegen Sie g(x) = 1 / f(x) in Partialbrüche.

Hallo,

habe hier noch eine Aufgabe zur Partialbruchzerlegung gefunden, welche ich noch nicht bearbeitet habe. Ich hoffe ich mach das richtig und würde mich freuen, wenn jemand mal drüber schaut.


a) habe ich nun mit hilfe von polinomdivision/hornerchema in ihre linearfaktoren zerlegt und habe erhalten:

(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)


mein taschenrechner kann nur funktionen bis [mm] x^{3} [/mm] berechnen, deshalb hoffe ich, dass die faktoren richtig sind.





b)

[mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x+2} [/mm] + [mm] \bruch{D}{x-2} [/mm]



nun füge ich die brüche mit hilfe des erweiterns zusammen



[mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] = [mm] \bruch{A(x-3)(x+2)(x-2)+B(x+3)(x+2)(x-2)+C(x+3)(x-3)(x-2)+D(x+3)(x-3)(x+2)}{(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)} [/mm]



nun setze ich die nullstellen nacheinander in den zähler ein, dann fallen bestimmte "buchstaben" weg und ich kann das übrig geblieben errechnen.....

x = 3  -->  1 = B(x+3)(x+2)(x-2)  -->  1 = B(3+3)(3+2)(3-2) --> [mm] \bruch{1}{30} [/mm] = B


x = -3  -->  1 = A(x-3)(x+2)(x-2)  -->  1 = A(-3-3)(-3+2)(-3-2) --> - [mm] \bruch{1}{30} [/mm] = A


x = 2  -->  1 = D(x+3)(x-3)(x+2)  -->  1 = D(2+3)(2-3)(2+2) --> - [mm] \bruch{1}{20} [/mm] = D


x = -2  -->  1 = C(x+3)(x-3)(x-2)  -->  1 = C(-2+3)(-2-3)(-2-2) -->  [mm] \bruch{1}{20} [/mm] = C


Und nun kann ich g(x) so schreiben:


g(x) = [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] = [mm] \bruch{- \bruch{1}{30}}{x+3} [/mm] + [mm] \bruch{ \bruch{1}{30}}{x-3} [/mm] + [mm] \bruch{ \bruch{1}{20}}{x+2} [/mm] + [mm] \bruch{- \bruch{1}{20}}{x-2} [/mm]


ich hoffe ich habe das soweit richtig gemacht.....



gruß smuji

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Fr 25.07.2014
Autor: fred97


> Sei f(x) = [mm]x^{4} -5x^{2}[/mm] - 36
>  
> a) Zerlegen sie f(x) in Faktoren von möglichst niedrigem
> Grad.
>  b) Zerlegen Sie g(x) = 1 / f(x) in Partialbrüche.
>  Hallo,
>  
> habe hier noch eine Aufgabe zur Partialbruchzerlegung
> gefunden, welche ich noch nicht bearbeitet habe. Ich hoffe
> ich mach das richtig und würde mich freuen, wenn jemand
> mal drüber schaut.
>  
>
> a) habe ich nun mit hilfe von polinomdivision/hornerchema
> in ihre linearfaktoren zerlegt und habe erhalten:
>  
> (x+3)(x-3)(x+2)(x-2)

Da hast Du Dich vertan !

[mm] (x+3)(x-3)(x+2)(x-2)=(x^2-9)(x^2-4)=x^4-13x^2+36 [/mm]

Also nochmal von vorne !

FRED

>  
>
> mein taschenrechner kann nur funktionen bis [mm]x^{3}[/mm]
> berechnen, deshalb hoffe ich, dass die faktoren richtig
> sind.
>  
>
>
>
>
> b)
>  
> [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x+3}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x+2}[/mm] + [mm]\bruch{D}{x-2}[/mm]
>
>
>
> nun füge ich die brüche mit hilfe des erweiterns
> zusammen
>  
>
>
> [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] =
> [mm]\bruch{A(x-3)(x+2)(x-2)+B(x+3)(x+2)(x-2)+C(x+3)(x-3)(x-2)+D(x+3)(x-3)(x+2)}{(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)}[/mm]
>
>
>
> nun setze ich die nullstellen nacheinander in den zähler
> ein, dann fallen bestimmte "buchstaben" weg und ich kann
> das übrig geblieben errechnen.....
>  
> x = 3  -->  1 = B(x+3)(x+2)(x-2)  -->  1 = B(3+3)(3+2)(3-2)

> --> [mm]\bruch{1}{30}[/mm] = B
>  
>
> x = -3  -->  1 = A(x-3)(x+2)(x-2)  -->  1 =

> A(-3-3)(-3+2)(-3-2) --> - [mm]\bruch{1}{30}[/mm] = A
>  
>
> x = 2  -->  1 = D(x+3)(x-3)(x+2)  -->  1 = D(2+3)(2-3)(2+2)

> --> - [mm]\bruch{1}{20}[/mm] = D
>  
>
> x = -2  -->  1 = C(x+3)(x-3)(x-2)  -->  1 =

> C(-2+3)(-2-3)(-2-2) -->  [mm]\bruch{1}{20}[/mm] = C

>  
>
> Und nun kann ich g(x) so schreiben:
>  
>
> g(x) = [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] = [mm]\bruch{- \bruch{1}{30}}{x+3}[/mm]
> + [mm]\bruch{ \bruch{1}{30}}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{ \bruch{1}{20}}{x+2}[/mm]
> + [mm]\bruch{- \bruch{1}{20}}{x-2}[/mm]
>  
>
> ich hoffe ich habe das soweit richtig gemacht.....
>  
>
>
> gruß smuji


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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Fr 25.07.2014
Autor: Smuji

ok, habe meinen fehler gefunden...beim letzten schritt...

und zwar, habe ich das hornerschema so lange angewendet, bis ich zum schluss



[mm] x^{2} [/mm] + 4 hatte

nun, wenn ich nun die nullstelle suche..


[mm] x^{2} [/mm] + 4 = 0

[mm] x^{2} [/mm] = -4

und daraus kann ich ja nun keine wurzel ziehen...... um x1,2 zu bekommen ... mein taschenrechner sagt mir, 2i und -2i sind die nullstellen.... nur wie komme ich auf dieses ergebnis, wenn ich das ganze schriftlich rechnen soll ??!?

denn wenn ich das alles NICHT schriftlich machen muss, hätte ich mir auch das polinomdividieren sparen können und die ganze aufgabe im taschenrechner berechnen können.

Bezug
                        
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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Fr 25.07.2014
Autor: schachuzipus

Hallo Smuji,

> ok, habe meinen fehler gefunden...beim letzten schritt...

>

> und zwar, habe ich das hornerschema so lange angewendet,
> bis ich zum schluss

>
>
>

> [mm]x^{2}[/mm] + 4 hatte

>

> nun, wenn ich nun die nullstelle suche..

>
>

> [mm]x^{2}[/mm] + 4 = 0

>

> [mm]x^{2}[/mm] = -4

>

> und daraus kann ich ja nun keine wurzel ziehen...... um
> x1,2 zu bekommen ... mein taschenrechner sagt mir, 2i und
> -2i sind die nullstellen.... nur wie komme ich auf dieses
> ergebnis, wenn ich das ganze schriftlich rechnen soll ??!?

Ein sehr einfacher Weg ist meiner Ansicht nach eine Substitution:

Der Ausgangsterm ist ja [mm]x^4-5x^2-36[/mm] - also ein biquadratischer Term.

Setze [mm]z:=x^2[/mm] und du bekommst letztlich die quadratische Gleichung

[mm]z^2-5z-36=0[/mm], deren Lösung(en) du bequem mit der p/q-Formel bestimmen kannst.

[mm]z_1=9[/mm] und [mm]z_2=-4[/mm]

Resubstituieren: [mm]z_1=9=x^2\Rightarrow x_1=3, x_2=-3[/mm]

Das gibt dir die Linearfaktoren [mm](x-x_1)[/mm] und [mm](x-x_2)[/mm]

[mm]z_2=-4[/mm], also [mm]x^2=-4[/mm] hat keine reelle Lösung, wie du ja schon erkannt hast [mm](x=\pm 2i)[/mm]

Bleibt die (reelle) Zerlegung [mm]x^4-5x^2-36 \ = \ (x-3)(x+3)(x^2+4)[/mm]


Im Komplexen kannst du den quadratischen Term natürlich weiter zerlegen in $(x-2i)(x+2i)$ ...

Aber ich denke, dass du hier im Reellen bleiben sollst ...


>

> denn wenn ich das alles NICHT schriftlich machen muss,
> hätte ich mir auch das polinomdividieren sparen können
> und die ganze aufgabe im taschenrechner berechnen können.

Ja, wenn du anhand der Lösungen, die der TR ausspuckt, die Zerlegung angeben kannst ...

Wie gesagt, der Weg mit der Substitution erspart dir jegliche Polynomdivision.

Gruß

schachuzipus

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 25.07.2014
Autor: Smuji

stimmt, substitution machts möglich...warum ich da nicht selbst drauf gekommen bin ?!?? hmm...

nun ja, demnach müsste meine aufgabe nun so aussehen



b)

$ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C}{x^{2}+4} [/mm] $


nun füge ich die brüche mit hilfe des erweiterns zusammen



$ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $ = $ [mm] \bruch {A(x-3)(x^{2}+4)+B(x+3)(x^{2}+4)+C(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^{2}+4)} [/mm]


kann ich damit weiterrechnen, oder ist da was falsch ?!?


gruß smuji

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Partialbruchzerlegung: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Fr 25.07.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Smuji!


> [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x+3}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x^{2}+4}[/mm]

[notok] Beim letzten Bruch muss es lauten: [mm] $\bruch{C\red{*x+D}}{x^2+4}$ [/mm] .


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 25.07.2014
Autor: Smuji

wieso das ?

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Fr 25.07.2014
Autor: Infinit

...weil der Nenner eine quadratische Potenz enthält. Schau mal in Deinen Unterlagen zur Partialbruchzerlegung nach.
VG,
Infinit

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Fr 25.07.2014
Autor: Smuji

du meinst also, es müsste so aussehen:

> $ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C\red{\cdot{}x+D}}{x^2+4} [/mm] $ .


das leuchtet mir nicht ein....

ich weiß, das wenn ich statt: [mm] x^2+4 [/mm]  ein [mm] (x+4)^{2} [/mm] hätte, dass es so aussehen müsste...

> $ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C}{(x+4)} [/mm] + [mm] \bruch{D}{(x+4)^{2}} [/mm] $ .


aber wieseo da ein x und D im zähler steht,,,das leuchtet mir nicht ein ?!?!?

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Fr 25.07.2014
Autor: rmix22


> du meinst also, es müsste so aussehen:
>  
> > [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x+3}[/mm] +  [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{C\red{\cdot{}x+D}}{x^2+4}[/mm] .

Genau so ist es!

>
> das leuchtet mir nicht ein....
>  
> ich weiß, das wenn ich statt: [mm]x^2+4[/mm]  ein [mm](x+4)^{2}[/mm] hätte,
> dass es so aussehen müsste...
>  
> > [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x+3}[/mm] +
> [mm]\bruch{B}{x-3}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x+4)} + \bruch{D}{(x+4)^{2}}[/mm] .

Ja, das stimmt auch. Hier hast du den Fall einer mehrfachen reellen Nullstelle des Nenners. Aber dieser Fall liegt bei deinem Beispiel nicht vor - du hast einfache konjugiert komplexe Polstellen und da ist der Ansatz eben anders.

>
> aber wieseo da ein x und D im zähler steht,,,das leuchtet
> mir nicht ein ?!?!?

Ist aber trotzdem so. Was sagen denn deine Unterlage betr. Partialbruchzerlegung dazu?

Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 25.07.2014
Autor: arbeitsamt

es gibt 3 fälle für partialbruchzerlegung: Der Nenner hat

Fall1: reelle Nullstellen [mm] x_i: \bruch{A}{x-x_i} [/mm]

Fall2: mehrere gleiche bzw. n-fache Nullstellen [mm] x_i: \bruch{A}{x-x_i}+\bruch{B}{(x-x_i)^2}+\bruch{C}{(x-x_i)^3}+...\bruch{Z}{(x-x_i)^n} [/mm]

ein beispiel. haben wir die doppelte Nullstelle x=2, dann müsste man den bruch so zerlegen:  [mm] \bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2} [/mm]

Fall3: komplexe Nullstellen: [mm] \bruch{Ax+B}{(x-x_i)(x-x_i*)} [/mm]

ein beispiel wir haben die komplexe nullstelle

[mm] x_1=4+i [/mm]
[mm] x_2=4-i [/mm]

dann hättest du  [mm] \bruch{Ax+B}{(x-(4+i))(x-(4-i)} [/mm]

in deinem Beispiel taucht fall1 und 3 auf

ps: ich hoffe ich erzähle kein blödsinn :D

Bezug
                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Fr 25.07.2014
Autor: rmix22


> es gibt 3 fälle für partialbruchzerlegung: Der Nenner
> hat
>  
> Fall1: reelle Nullstellen [mm]x_i: \bruch{A}{x-x_i}[/mm]
>  
> Fall2: mehrere gleiche bzw. n-fache Nullstellen [mm]x_i: \bruch{A}{x-x_i}+\bruch{B}{(x-x_i)^2}+\bruch{C}{(x-x_i)^3}+...\bruch{Z}{(x-x_i)^n}[/mm]
>  
> ein beispiel. haben wir die doppelte Nullstelle x=2, dann
> müsste man den bruch so zerlegen:  
> [mm]\bruch{A}{x-2}+\bruch{B}{(x-2)^2}[/mm]
>  
> Fall3: komplexe Nullstellen: [mm]\bruch{Ax+B}{Nenner}[/mm]
>  
> in deinem Beispiel taucht fall1 und 3 auf


Fall 4: Mehrfache komplexe Polstellen (analog zu den mehrfachen reellen). Das sind die, welche bei Integralaufgaben die unangenehmeren sind.
Tritt also im Nenner beispielsweise der irreduzible Term [mm] $\left(x^2+4\right)^3$ [/mm] auf, so beinhaltet die Partialbruchzerlegung die Terme
[mm] $\frac{A*x+B}{x^2+4}+\frac{C*x+D}{\left(x^2+4\right)^2}+\frac{E*x+F}{\left(x^2+4\right)^3}$ [/mm]

Aber da geh ich schon davon, dass Smuji diese grundlegenden Ansätze in seinen Unterlagen stehen hat.

RMix



Bezug
                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

gut, dann nehmen wir das mal so hin...

$ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{A}{x+3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{B}{x-3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{C\red{\cdot{}x+D}}{x^2+4} [/mm] $ .




also rechne ich hiermit so weiter, wie bei anderen aufgaben auch ?


[mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm]  =  [mm] \bruch{A(x-3)(x^2+4) + B(x+3)(x^2+4) + C\red{\cdot{}x+D}(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^2+4)} [/mm]


normalerweise setzte ich nun die nullstellen ein und gucke welche
"buchstabenterme" 0 werden und was übrig bleibt um dann weiterzurechnen, nur welche nullstelle nehme ich denn beim [mm] x^2+4 [/mm] - term ? kann ja schlecht die 4 nehmen...


gruß smuji

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Sa 26.07.2014
Autor: Teufel

"Buchstabenterme..." :p

Na ja, also $A$ und $B$ kannst d ausrechnen. $C$ und $D$ kannst du dann durch Lösen eines linearen Gleichungssystemes bestimmen.

Du kannst auch $x=0$ und dann fällt das $C$ weg.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

$ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $  =  $ [mm] \bruch{A(x-3)(x^2+4) + B(x+3)(x^2+4) + C\red{\cdot{}x+D}(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^2+4)} [/mm] $


ich probiere mich mal daran


also da die nenner gleich sind, beachte ich diese erstmal nicht weiter und forme den zähler um bzw. löse klammern auf.

[mm] A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) [/mm] + [mm] B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) [/mm] + [mm] (Cx+D)(x^{2}-9) [/mm]



nun schaue ich mir die linke seite an


ich habe:

[mm] x^{3} [/mm] = 0 = A+B
[mm] x^{2} [/mm] = 0 = -3A+3B+(Cx+D)
[mm] x^{1} [/mm] = 0 = 4A +4B
[mm] x^{0} [/mm] = 1 = -12A +12B -9(Cx+D)



nun sehe ich dass A+B = 0 ergibt..spätestens allerdings wenn ich 1. und 3. gleichung per additionsverfahren lösen will, stelle ich fest

A = 0
B = 0

ich hoffe so weit richtig... nun kommt die stelle wo ich noch unsicherer werde...

da ich weiß, dass A und B gleich 0 sind, kann ich diese gleichung:

0 = -3A+3B+(Cx+D)

so umformen

0 = Cx+D

und kann die letzte gleichung:

1 = -12A +12B -9(Cx+D)

zu 1 = -9(Cx+D) umformen und habe nun 2 gleichungen:

0 = Cx+D
1 = -9(Cx+D)
----------------------

0 = Cx+D
1 = -9Cx -9D


und nun ...keine ahnung mehr :-)


Bezug
                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Sa 26.07.2014
Autor: MathePower

Hallo Smuji,

> [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm]  =  [mm]\bruch{A(x-3)(x^2+4) + B(x+3)(x^2+4) + C\red{\cdot{}x+D}(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^2+4)}[/mm]
>
>
> ich probiere mich mal daran
>  
>
> also da die nenner gleich sind, beachte ich diese erstmal
> nicht weiter und forme den zähler um bzw. löse klammern
> auf.
>  
> [mm]A(x^{3}-3x^{2}+4x-12)[/mm] + [mm]B(x^{3}+3x^{2}+4x+12)[/mm] +
> [mm](Cx+D)(x^{2}-9)[/mm]
>  


Den letzten Summanden musst Du natürlich auch ausmultiplizieren.


>
>
> nun schaue ich mir die linke seite an
>  
>
> ich habe:
>  
> [mm]x^{3}[/mm] = 0 = A+B
>  [mm]x^{2}[/mm] = 0 = -3A+3B+(Cx+D)
>  [mm]x^{1}[/mm] = 0 = 4A +4B
>  [mm]x^{0}[/mm] = 1 = -12A +12B -9(Cx+D)
>  
>
>
> nun sehe ich dass A+B = 0 ergibt..spätestens allerdings
> wenn ich 1. und 3. gleichung per additionsverfahren lösen
> will, stelle ich fest
>  
> A = 0
>  B = 0
>  
> ich hoffe so weit richtig... nun kommt die stelle wo ich
> noch unsicherer werde...
>  
> da ich weiß, dass A und B gleich 0 sind, kann ich diese
> gleichung:
>  
> 0 = -3A+3B+(Cx+D)
>  
> so umformen
>  
> 0 = Cx+D
>  
> und kann die letzte gleichung:
>  
> 1 = -12A +12B -9(Cx+D)
>  
> zu 1 = -9(Cx+D) umformen und habe nun 2 gleichungen:
>  
> 0 = Cx+D
>  1 = -9(Cx+D)
>  ----------------------
>  
> 0 = Cx+D
>  1 = -9Cx -9D
>  
>
> und nun ...keine ahnung mehr :-)
>


Die Gleichungen sind  nochmals zu überprüfen.


Gruss
MathePower

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

also wird mein:

$ [mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm] $  =  $ [mm] \bruch{A(x-3)(x^2+4) + B(x+3)(x^2+4) + C\red{\cdot{}x+D}(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^2+4)} [/mm] $

>


zu


[mm] A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) [/mm] + [mm] B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) [/mm] + [mm] Cx(x^{2} [/mm] -9) + [mm] D(x^{2} [/mm] -9)


oder soll ich auch das x vom C lösen? sprich:


[mm] A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) [/mm] + [mm] B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) [/mm] + [mm] C(x^{3} [/mm] -9x) + [mm] D(x^{2} [/mm] -9)


???

gruß smuji


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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Sa 26.07.2014
Autor: MathePower

Hallo Smuji,

> also wird mein:
>  
> [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm]  =  [mm]\bruch{A(x-3)(x^2+4) + B(x+3)(x^2+4) + C\red{\cdot{}x+D}(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)(x^2+4)}[/mm]
> >
>
>
> zu
>  
>
> [mm]A(x^{3}-3x^{2}+4x-12)[/mm] + [mm]B(x^{3}+3x^{2}+4x+12)[/mm] + [mm]Cx(x^{2}[/mm]
> -9) + [mm]D(x^{2}[/mm] -9)
>  
>
> oder soll ich auch das x vom C lösen? sprich:
>  
>
> [mm]A(x^{3}-3x^{2}+4x-12)[/mm] + [mm]B(x^{3}+3x^{2}+4x+12)[/mm] + [mm]C(x^{3}[/mm]
> -9x) + [mm]D(x^{2}[/mm] -9)
>  


Jetzt kannst Du die entsprechenden Gleichungen aufstellen.

>
> ???
>  
> gruß smuji

>


Gruss
MathePower  

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

[mm] \bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36} [/mm]  =  [mm] \bruch{A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) + B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) + C(x^{3} -9x) + D(x^{2} -9) }{(x+3)(x-3)(x^2+4)} [/mm]


also nochmal


[mm] x^{3} [/mm] = 0 = A+B+C
[mm] x^{2} [/mm] = 0 = -3A+3B+D
[mm] x^{1} [/mm] = 0 = 4A+4B-9C
[mm] x^{0} [/mm] = 1 = -12A+12B-9D



nun ja, wie löse ich das gleichungssystem...

3 unbekannte, also bräuchte ich auch 3 gleichungen mit den selben variablen...


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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Sa 26.07.2014
Autor: reverend

Hallo Smuji,

das ist nicht gut aufgeschrieben.

>  [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) + B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) + C(x^{3} -9x) + D(x^{2} -9) }{(x+3)(x-3)(x^2+4)}[/mm]
>
>
> also nochmal
>  
>
> [mm]x^{3}[/mm] = 0 = A+B+C
>  [mm]x^{2}[/mm] = 0 = -3A+3B+D
>  [mm]x^{1}[/mm] = 0 = 4A+4B-9C
>  [mm]x^{0}[/mm] = 1 = -12A+12B-9D

In jeder dieser vier Zeilen ist das erste Gleichheitszeichen falsch. Schreib da besser einen Doppelpunkt. Ansonsten stimmts so.

> nun ja, wie löse ich das gleichungssystem...
>  
> 3 unbekannte, also bräuchte ich auch 3 gleichungen mit den
> selben variablen...

Vier Unbekannte (A,B,C,D), und Du hast vier Gleichungen. Das fängt doch gut an.
Du kannst entweder eine Standardmethode wie die von Gauß verwenden oder z.B. mit den Gleichungen für [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^0 [/mm] anfangen - daraus ergibt sich schon D. Wenn Du das hast, ergibt sich aus den Gleichungen für [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^1 [/mm] direkt C. Und die restlichen beiden (also A,B) sind dann leicht zu ermitteln.

Viel Erfolg,
reverend  


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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:19 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

wie meinst du das mit, jedes erste gleichheitszeichen ist falsch ?


habe es nun mit dem gauß-algo gelöst... warum ich nicht selber drauf gekommen bin. k.a.


meine lösung ist:

D = - [mm] \bruch{1}{13} [/mm]
C = 0
B = 0,0periode128205
A = - 0,0periode128205


jetzt müsste ich nur wissen, ob die ergebnisse richtig sind :-/

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 Sa 26.07.2014
Autor: rmix22


> wie meinst du das mit, jedes erste gleichheitszeichen ist
> falsch ?
>  
>
> habe es nun mit dem gauß-algo gelöst... warum ich nicht
> selber drauf gekommen bin. k.a.
>  
>
> meine lösung ist:
>  
> D = - [mm]\bruch{1}{13}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  C = 0
>  B = 0,0periode128205
>  A = - 0,0periode128205
>  
>
> jetzt müsste ich nur wissen, ob die ergebnisse richtig
> sind :-/

Die Ergebnisse sind richtig, wenngleich für B und A die Schreibweise  $\pm{\frac{1}{78}$ netter wäre.

RMix


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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

vielen dank !!! also brüche gefallen besser ?!? =)

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Sa 26.07.2014
Autor: MathePower

Hallo Smuji,

> vielen dank !!! also brüche gefallen besser ?!? =)


Mit Gefallen hat das nichts zu tun.

Werden dieses Werte für die weitere Rechnung benötigt,
so ist es empfehlenswert exakte Werte zu benutzen.
Hier in diesem Fall sind es Brüche.


Gruss
MathePower

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Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 So 27.07.2014
Autor: reverend

Hallo MathePower,

na, da muss ich mal zugunsten Smujis etwas anmerken:

> > vielen dank !!! also brüche gefallen besser ?!? =)
>
> Mit Gefallen hat das nichts zu tun.
>  
> Werden dieses Werte für die weitere Rechnung benötigt,
>  so ist es empfehlenswert exakte Werte zu benutzen.
>  Hier in diesem Fall sind es Brüche.

Smuji hatte exakte, periodische Dezimalbrüche angegeben. Das ist absolut gleichwertig.

Trotzdem würde ich auch eher echte Brüche bevorzugen, sie sind übersichtlicher. Zum Kürzen z.B. sind sie ungleich besser geeignet. 78=2*3*13, das kann später hilfreich sein. Der Dezimalbruchform sieht man so etwas ja nicht an.

Grüße
reverend


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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Sa 26.07.2014
Autor: rmix22


>  [mm]\bruch{1}{x^{4} -5x^{2} - 36}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{A(x^{3}-3x^{2}+4x-12) + B(x^{3}+3x^{2}+4x+12) + C(x^{3} -9x) + D(x^{2} -9) }{(x+3)(x-3)(x^2+4)}[/mm]
>
>
> also nochmal
>  
>
> [mm]x^{3}[/mm] = 0 = A+B+C
>  [mm]x^{2}[/mm] = 0 = -3A+3B+D
>  [mm]x^{1}[/mm] = 0 = 4A+4B-9C
>  [mm]x^{0}[/mm] = 1 = -12A+12B-9D
>  
>
>
> nun ja, wie löse ich das gleichungssystem...
>  
> 3 unbekannte, also bräuchte ich auch 3 gleichungen mit den
> selben variablen...

Wie reverend schon angemerkt hat, hast du vier Gleichungen und auch vier Unbekannte.
Generell hast du in diesem Thread zwei Methoden zur Ermittlung der unbekannten Koeffizienten A,B,C,D angerissen. Das sind einerseits das EInsetzen von (beliebigen!) Werten für x und andererseits der Vergleich der Koeffizienten der Potenzen der Variablen x auf beiden Seiten. Diese Methoden darf man durchaus auch mischen.

Für jeden Wert, den man für x einsetzt, erhält man eine Gleichung in den vier Unbekannten. Besonders einfach wird es, wenn man die reellen Nullstellen des Nenners einsetzt, da man damit immer jeweils sofort direkt eine der Unbekannten bekommt. Das Einsetzen der beiden reellen Nullstellen würde ich mir daher bei diesem Beispiel keinesfalls entgehen lassen! Du erhältst damit sofort die Werte für A und B.

Nun brauchst du noch zwei Gleichungen für C und D (für A und B) kannst du ja schon die bekannten Werte einsetzen. Solche Gelichungen erhälts du entweder indem du für x zwei weitere Werte (zB 0, 1, -1) einsetzt oder aber durch den von dir schon angeführten Koeffizientenvergleich (such dir die einfacheren Gleichungen aus), In deinem Fall offenbar besonders einfach, weil du bei bekanntem A und B aus den entsprechenden Gleichungen sofort C und D erhältst.


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Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Sa 26.07.2014
Autor: Smuji

vielen dank, habe es mit gauß gemacht.... TOP hat geklappt

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Sa 26.07.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei f(x) = [mm]x^{4} -5x^{2}[/mm] - 36
>  
> a) Zerlegen sie f(x) in Faktoren von möglichst niedrigem
> Grad.

> a) habe ich nun mit hilfe von polinomdivision/hornerchema
> in ihre linearfaktoren zerlegt und habe erhalten:
>  
> (x+3)(x-3)(x+2)(x-2)    [notok]

Dass dies falsch ist, wurde schon längst gemeldet. Trotzdem
müsstest du unbedingt in der Lage sein, wenigstens eigenhändig
(mit Stift und Papier !) nachzurechnen, ob eine solche Zerlegung
richtig ist.


> mein taschenrechner kann nur funktionen bis [mm]x^{3}[/mm]
> berechnen, deshalb hoffe ich, dass die faktoren richtig
> sind.

Na, bist du denn dermaßen vom Taschenrechner abhängig ?

Beachte, dass die Funktion f biquadratisch ist (zwar 4. Grad,
aber kein [mm] x^3 [/mm] und kein lineares Glied vorhanden). Man kann
f(x) durch einfachen Klammeransatz faktorisieren, nämlich so:

      $\ f(x)\ =\ [mm] x^{4} -5x^{2} [/mm] - 36\ =\ [mm] (\,x^2\,-\,.....\,)\,*\,(\,x^2\,-\,.....\,)$ [/mm]


LG ,     Al-Chw.

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 So 27.07.2014
Autor: Smuji

ich kann doch einfach substituieren.....

z = [mm] x^{2} [/mm]

erhalte somit

[mm] z^{2}-5z-36 [/mm]

mit pq-formel gibts die nullstellen....

z1 = 9
z2=-4

nun resubstituieren

x1,2 = [mm] +-\wurzel{9} [/mm]

x3,4 = +- [mm] \wurzel{-4} [/mm]


das bedeutet,


x1,2 = 3 und -3
x3,4 = komplexe nullstellen



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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 27.07.2014
Autor: angela.h.b.


> ich kann doch einfach substituieren.....

>

> z = [mm]x^{2}[/mm]

>

> erhalte somit

>

> [mm]z^{2}-5z-36[/mm]

>

> mit pq-formel gibts die nullstellen....

>

> z1 = 9
> z2=-4

Hallo,

halten wir hier kurz inne:

Du weißt jetzt, daß

[mm] z^2-5z-36=(z-9)(z-(-4))=(z-9)(z+4) [/mm]

Mit [mm] z=x^2 [/mm] hat man

[mm] x^4-5x^2-36=(x^2-9)(x^2+4). [/mm]

Daß [mm] x^2+4 [/mm] keine (reelle) Nullstelle hat, ist sofort klar, denn???

Für [mm] (x^2-9) [/mm] hilft die dritte binomische Formel, (x-9)=(x-3)(x+3), so daß man hat

[mm] x^4-5x^2-36=(x-3)(x+3)(x^2+4) [/mm]


Oder halt so:
>

> nun resubstituieren

>

> x1,2 = [mm]+-\wurzel{9}[/mm]

>

> x3,4 = +- [mm]\wurzel{-4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>
>

> das bedeutet,

>
>

> x1,2 = 3 und -3
> x3,4 = komplexe nullstellen, nämlich

x_{3,4}=\pm 2i.

Damit hat man

x^4-5x^2-36=(x-3)(x+3)(x-2i)(x+2i), wenn man's ohne komplexe Zahlen haben möchte

...=(x-3)(x+3)(x^2+4).

---

Al Chwarizmi hat Dir aber noch etwas Wichtiges gesagt:

Du solltest unbedingt in der Lage sein zu prüfen, ob

x^4-5x^2-36=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)

stimmt, entweder durch ganz stumpfes Ausmultiplizieren, oder mithilfe der dritten binomischen Formel:

\underbrace{(x-3)(x+3)}_{3.bin.F.}\underbrace{(x-2)(x+2)_{3.bin.F.}=(x^2-9)(x^2-4),

ausmultiplizieren ergibt schließlich

...=x^4-13x^2+36,

was nicht dasselbe ist wie x^4-5x^2-36.

LG Angela

>
>

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 So 27.07.2014
Autor: Smuji

ja, habe die aufgaben nun noch ein paar mal durchgerechnet.... leuchtet mir nun alles allein..


vielen dank !!

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