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Partielle Integration: Part. Integration von cos^4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 19.02.2005
Autor: lac-operon

Hallo zusammen!

Rechne gerade eine alte Klausur durch, weil ich in ein paar Tagen fällig bin. Eigentlich ganz leicht, nur irgendwie stehe ich bei einer Aufgabe auf dem Schlauch:

[mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{4}(x) dx} [/mm]

> Partielle Integration ...:

[mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^{3}(x) + cos(x) dx} [/mm]

ergibt bei mir:

[mm] [cos^{3}(x)*sin(x)] [/mm] "von  [mm] \pi/2 [/mm] über 0" - [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {3cos^{2}(x)*(-sin(x))*sin(x) dx} [/mm]

=

[mm] [cos^{3}(x)*sin(x)] [/mm] "von  [mm] \pi/2 [/mm] über 0" + [mm] 3*\integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x)*sin^{2}(x) dx} [/mm]

... so. Könntet ihr mir bitte weiterhelfen? Bin zur Zeit nicht ganz auf dem Laufenden.

Meine Idee wäre, im Integral [mm] 3*\integral_{0}^{\pi/2} {cos^{2}(x)*sin(x)^{2} dx} [/mm] ... das [mm] sin^{2} [/mm] als [mm] 1-cos^{2} [/mm] auszudrücken um dann nochmals partiell integrieren zu können.

Um dies zu überprüfen müsste ich allerdings nicht so verwirrt sein wie momentan (Klausuren und Ganztagspraktikum in der nächsten Woche ... puuh!!), das bedeutet: Ich schaffe den geistigen Sprung zur Lösung alleine nicht und bin auf andere angewiesen.

Vielen, vielen Dank, an diejenigen, die sich die Mühe machen. Wenn ich wieder einigermaßen klar im Kopf bin und etwas mehr Zeit habe, dann werde ich mich selbstverständlich auch um die Fragen anderer kümmern!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Sa 19.02.2005
Autor: nitro1185

Hallo!!!

Ahhh wenn du die Partielle Integration anwendest würde ich folgendes machen!!!


[mm] \integral_{0}^{pi/2} {cos(x)^{4} dx}= [/mm]

[mm] \integral_{0}^{pi/2} [/mm] {cos(x)³*cos(x) dx}  und nicht cos(x)³+cos(x)


mfg daniel
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Partielle Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Sa 19.02.2005
Autor: Fabian

Hallo lac-operon

Es gibt auch noch eine andere Möglichkeit.

Mit Hilfe der Trigonometrischen Beziehung


[mm] cos^{4}x=\bruch{1}{8}[cos(4x)+4*cos(2x)+3] [/mm]

läßt sich das Integral in drei einfachere Teilintegrale aufspalten!

Also:


[mm] \integral{cos^{4}x*dx}= \bruch{1}{8}\integral{cos(4x)*dx}+\bruch{1}{2}\integral{cos(2x)*dx}+\bruch{3}{8}\integral{1*dx} [/mm]

Gruß Fabian
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Partielle Integration: Stimmt! Ein Fehler!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Sa 19.02.2005
Autor: lac-operon

[mm] \integral_{0}^{ \pi/2} [/mm] {cos(x)³*cos(x)dx}

So muss es sein!

Danke Daniel!! (Das spiegelt meinen geistigen Zustand wieder!)

Und natürlich vielen vielen Dank an Fabian! Das hilft mir wirklich weiter!

Mfg an alle Lac-Operon

> natürlich bin ich noch für alle weiteren Tipps offen!


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Partielle Integration: Dein Weg geht auch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Sa 19.02.2005
Autor: Loddar

Hallo lac-operon!

Zunächst einmal ein [willkommenmr] !!!

Und dann mal ein Riesenkompliment - als "Neueinsteiger" hier alles richtig gemacht (Begrüßung, Lösungsansätze und den Formeleditor benutzt) [applaus] !!


> [mm]\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{4}(x) dx}[/mm]   [mm]= \ \integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{3}(x) \red{ \ * \ } \cos(x) dx}[/mm]

(War bestimmt nur ein Tippfehler.)

> [mm]= \ \left[\cos^{3}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2} - \integral_{0}^{\pi/2} {3*\cos^{2}(x)*(-\sin(x))*\sin(x) dx}[/mm]
> [mm]= \ \left[\cos^{3}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2} + 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x)*\sin^{2}(x) dx}[/mm]

[daumenhoch] Bis hierher alles richtig. Prima!



> Meine Idee wäre, im Integral [mm]3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x)*\sin(x)^{2} dx}[/mm]
> ... das [mm]\sin^{2}[/mm] als [mm]1-\cos^{2}[/mm] auszudrücken um dann nochmals
> partiell integrieren zu können.

[daumenhoch] Auch diese Idee ist sehr gut.


Damit erhältst Du doch:

[mm]= \ \left[\cos^{3}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2} + 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x)*[1 - \cos^{2}(x)] dx}[/mm]

[mm]= \ \left[\cos^{3}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2} + 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x) - \cos^{4}(x) dx}[/mm]

[mm]= \ \left[\cos^{3}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\pi/2} + 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x) dx} - 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{4}(x) dx}[/mm]


Den Ausdruck [mm]- 3*\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{4}(x) dx}[/mm] kannst du nun auf die linke Seite der Gleichung bringen.


Für den Ausdruck [mm] $\integral_{0}^{\pi/2} {\cos^{2}(x) dx}$ [/mm] mußt Du halt nochmals partielle Integration anwenden.


Kommst Du nun etwas weiter?

Teile uns doch mal Dein Ergebnis mit zur Kontrolle, wenn Du möchtest ...


> Wenn ich wieder einigermaßen klar im Kopf bin und
> etwas mehr Zeit habe, dann werde ich mich
> selbstverständlich auch um die Fragen anderer kümmern!

Prima - das freut uns ...


Grüße
Loddar

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Partielle Integration: Ergebniskontrolle :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Sa 19.02.2005
Autor: lac-operon

Vielen, vielen Dank: 1. Für die hervorragende Hilfestellung (an alle) und 2. Für die Blumen!!!

Mein Ergebnis wäre: [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {cos^4(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{16} \pi [/mm]

Es ist es super, dass es Menschen wie euch gibt! Ich werde euch auf jeden Fall weiterempfehlen und versuchen dort zu helfen, wo ich kann!

Gruß, lac-operon.
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Partielle Integration: Stimmt !!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Sa 19.02.2005
Autor: Loddar

.

> Mein Ergebnis wäre: [mm]\integral_{0}^{\pi/2} {cos^4(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{3}{16} \pi[/mm]

     [daumenhoch]


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