Polarkoordinaten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a)
Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:
-2, 1-i, [mm] \bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})
[/mm]
b)
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender zahlen und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:
[mm] \overline{1-2i}*\bruch{1}{i}
[/mm]
[mm] \bruch{2-i}{1+2i}
[/mm]
[mm] \bruch{1-i}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] |(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}| [/mm] |
Polarkoordinaten haben die folgende Form:
[mm] r*e^{i*\varphi}
[/mm]
Ich würde gerne wissen wie man den winkel [mm] \varphi [/mm] bestimmt. Dazu habe ich das folgende Koordinatensystem gezecihnet
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im ersten Quadranten (roter bereich) gilt:
[mm] \varphi=tan^{-1}(\bruch{x}{y})=cos^{-1}(\bruch{x}{r})=sin^{-1}(\bruch{y}{r})
[/mm]
Im zweiten Quadranten (blauer bereich) gilt:
[mm] \varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})
[/mm]
Im Dritten Quadranten (grüner bereich) gilt dasselbe wie im zweiten Quadranten:
[mm] \varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})
[/mm]
Im vierten quadranten (gelber bereich) gilt:
[mm] \varphi=2\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=2\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=2\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})
[/mm]
Stimmt das?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Die Frage hat sich erledigt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 22.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> a)
>
> Stellen Sie folgende Zahlen in Polarkoordinaten dar:
>
> -2, 1-i, [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})[/mm]
Ergänzend zu Marius:
Deine Zeichnung und Deine Überlegungen sind ja löblich, aber bei obigen komplexen Zahlen kommt man doch mit Mittelstufentrigonometrie zum Ziel.
Mach Dir jeweils ein Bild , dann solltest Du sehen:
bei -2 ist [mm] \varphi= \pi;
[/mm]
bei 1-i ist [mm] \varphi=-\bruch{\pi}{4} [/mm] (oder [mm] \varphi=\bruch{7 \pi}{4} [/mm] );
bei [mm] \bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3}) [/mm] ist [mm] \varphi=-\bruch{\pi}{6} [/mm] (oder [mm] \varphi=\bruch{11 \pi}{6} [/mm] )
FRED
>
> b)
>
> Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender zahlen und
> skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:
>
> [mm]\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2-i}{1+2i}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-i}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|[/mm]
> Polarkoordinaten haben die folgende Form:
>
> [mm]r*e^{i*\varphi}[/mm]
>
> Ich würde gerne wissen wie man den winkel [mm]\varphi[/mm]
> bestimmt. Dazu habe ich das folgende Koordinatensystem
> gezecihnet
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Im ersten Quadranten (roter bereich) gilt:
>
> [mm]\varphi=tan^{-1}(\bruch{x}{y})=cos^{-1}(\bruch{x}{r})=sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>
> Im zweiten Quadranten (blauer bereich) gilt:
>
> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>
> Im Dritten Quadranten (grüner bereich) gilt dasselbe wie
> im zweiten Quadranten:
>
> [mm]\varphi=\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>
> Im vierten quadranten (gelber bereich) gilt:
>
> [mm]\varphi=2\pi+tan^{-1}(\bruch{x}{y})=2\pi-cos^{-1}(\bruch{x}{r})=2\pi+sin^{-1}(\bruch{y}{r})[/mm]
>
> Stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> bei [mm]\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})[/mm] ist [mm]\varphi=-\bruch{\pi}{6}[/mm]
> (oder [mm]\varphi=\bruch{11 \pi}{6}[/mm] )
Hier hast du dich verrechnet. ich komme auf [mm] \varphi=\bruch{5\pi}{3}
[/mm]
Meine Ergebnisse:
[mm] z_1=-2=2e^{i\pi}
[/mm]
[mm] z_2=1-i=\wurzel{2}e^{i\bruch{7\pi}{4}}
[/mm]
[mm] z_3=\bruch{1}{2}(1-i\wurzel{3})=1e^{i\bruch{5\pi}{3}}
[/mm]
die frage hat sich erledigt
|
|
|
| |
|
[mm] z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=\bruch{1}{i-2i^2}=\bruch{1}{2+i}*\bruch{2-i}{2-i}=\bruch{2-i}{5}=\bruch{2}{5}-\bruch{1i}{5}
[/mm]
Realteil ist [mm] Re(z_1)=\bruch{2}{5}
[/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_1)=-\bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-2i-i+2i^2}{5}=\bruch{-3i}{5}
[/mm]
Realteil ist [mm] Re(z_2)=0
[/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_2)=-\bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}}
[/mm]
Realteil ist [mm] Re(z_3)=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Imaginärteil ist [mm] Im(z_3)=-\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|
[/mm]
Welchen Trick muss ich bei [mm] z_4 [/mm] anwenden? ich glaube kaum das ich den term [mm] (\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42} [/mm] ausmultiplizieren soll
|
|
|
| |
|
Hallo Rebellismus,
ein paar Tipps:
> [mm]z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=\bruch{1}{i-2i^2}=\bruch{1}{2+i}*\bruch{2-i}{2-i}=\bruch{2-i}{5}=\bruch{2}{5}-\bruch{1i}{5}[/mm]
Nein. Beachte die Konjugierte: [mm] \overline{1-2i}=1+2i
[/mm]
Dann gehts halt auch anders weiter.
> Realteil ist [mm]Re(z_1)=\bruch{2}{5}[/mm]
> Imaginärteil ist [mm]Im(z_1)=-\bruch{1}{5}[/mm]
>
>
> [mm]z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-2i-i+2i^2}{5}=\bruch{-3i}{5}[/mm]
Stimmt auch nicht. Rechne noch mal nach. Du hast falsch ausmultipliziert.
> Realteil ist [mm]Re(z_2)=0[/mm]
> Imaginärteil ist [mm]Im(z_2)=-\bruch{3}{5}[/mm]
>
>
> [mm]z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}[/mm]
Stimmt soweit. Es ist aber Usus, im Nenner keine Wurzel allein stehen zu haben. Es gilt [mm] \br{1}{\wurzel{2}}=\br{1}{\wurzel{2}}*\br{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=\br{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
> Realteil ist [mm]Re(z_3)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Imaginärteil ist [mm]Im(z_3)=-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
>
> [mm]z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|[/mm]
>
> Welchen Trick muss ich bei [mm]z_4[/mm] anwenden? ich glaube kaum
> das ich den term [mm](\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}[/mm]
> ausmultiplizieren soll
Doch, das sollst Du. Es ist sogar ziemlich einfach, denn es gilt:
[mm] \left|\left(\bruch{1-i}{\wurzel{2}}\right)^{42}\right|=\left(\br{|1-i|}{|\wurzel{2}|}\right)^{42}
[/mm]
...und was ist $|1-i|$ ?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo,
Stimmt die folgende Rechnung jetzt:
[mm] z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=(1+2i)*\bruch{1}{i}=\bruch{1+2i}{i}*\bruch{-i}{-i}=\bruch{-i-2i^2}{-i^2}=\bruch{2-i}{1}=2-i
[/mm]
[mm] Re(z_1)=2 [/mm] und [mm] Im(z_1)=-1
[/mm]
[mm] z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-4i-i+2i^2}{5}=\bruch{-5i}{5}=-i
[/mm]
[mm] Re(z_2)=0 [/mm] und [mm] Im(z_2)=-1
[/mm]
[mm] z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-\bruch{\wurzel{2}i}{2}
[/mm]
[mm] Re(z_3)=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] und [mm] Im(z_3)=\bruch{\wurzel{2i}}{2}
[/mm]
[mm] z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|=(\bruch{|1-i|}{|\wurzel{2}|})^{42}=(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}})^{42}=1
[/mm]
[mm] Re(z_4)=1 [/mm] und [mm] Im(z_4)=0
[/mm]
und So sehen meine skizzen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
bis auf einen Flüchtigkeitsfehler ist jetzt alles richtig.
> [mm]z_1=\overline{1-2i}*\bruch{1}{i}=(1+2i)*\bruch{1}{i}=\bruch{1+2i}{i}*\bruch{-i}{-i}=\bruch{-i-2i^2}{-i^2}=\bruch{2-i}{1}=2-i[/mm]
>
> [mm]Re(z_1)=2[/mm] und [mm]Im(z_1)=-1[/mm]
Jawoll.
> [mm]z_2=\bruch{2-i}{1+2i}=\bruch{2-i}{1+2i}*\bruch{1-2i}{1-2i}=\bruch{2-4i-i+2i^2}{5}=\bruch{-5i}{5}=-i[/mm]
>
> [mm]Re(z_2)=0[/mm] und [mm]Im(z_2)=-1[/mm]
Stimmt auch.
> [mm]z_3=\bruch{1-i}{\wurzel{2}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}-\bruch{i}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{2}-\bruch{\wurzel{2}i}{2}[/mm]
>
> [mm]Re(z_3)=\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]Im(z_3)=\bruch{\wurzel{2i}}{2}[/mm]
Beim Imaginärteil fehlt das Minuszeichen. Sieht nach einem Übertragungsfehler aus, denn richtig gerechnet hast Du ja.
> [mm]z_4=|(\bruch{1-i}{\wurzel{2}})^{42}|=(\bruch{|1-i|}{|\wurzel{2}|})^{42}=(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}})^{42}=1[/mm]
>
> [mm]Re(z_4)=1[/mm] und [mm]Im(z_4)=0[/mm]
Ja, genau.
> und So sehen meine skizzen aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Bis auf [mm] z_3 [/mm] alles richtig.
Glückwunsch!
Grüße
rev
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier