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Polynomvektorraum: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mi 18.05.2011
Autor: Michael2010

Aufgabe
Es sei
[mm] V:=\{f:\IR\mapsto\IR| a_{0},...,a_{4}\in\IR\wedge f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i} \forall x\in\IR\} [/mm]
und [mm] \delta:V\mapsto [/mm] V sei definiert durch:
[mm] \delta(f)(x)=f''(x)+xf'(x)-f(x+1). [/mm]

A)
Zeigen Sie das V ein Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist und dass [mm] \delta [/mm] linear ist.

B)
Berrechnen Sie die Matrix [mm] M(\delta) [/mm] bezüglich einer Basis B von V.

C)
Bestimmen Sie eine Basis von Kern [mm] \delta. [/mm]

D)
Sei [mm] g(x)\in [/mm] V mit [mm] g(x)=3x^{4}+2x^{3}-x+1. [/mm] Berechnen Sie [mm] \delta^{-1}(g). [/mm]

Hallo liebe Community,

die Wesentliche Frage ist in der C, es wäre nett wenn ihr den Rest mal probegucken könntet, eventuell habe ich ja auch Folgefehler =(,
aber erstmal was ich bereits erarbeitet habe:

A)
Zeige das V Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] ist:

1. [mm] 0\in [/mm] V
Sei [mm] a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0\in\IR [/mm] , dann ist
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}0*x^{i}=0\in [/mm] V [mm] \Box [/mm]

2. Additativ abgeschlossen
Seien [mm] u(x),v(x)\in [/mm] V.
Zeige [mm] u(x)+v(x)\in [/mm] V

[mm] u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}, v(x)=\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}\in [/mm] V

[mm] u(x)+v(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}(a_{i}+a'{i})x^{i} \in [/mm] V, da [mm] a_{i}+a'{i}\in\IR \Box [/mm]

3. Multiplikativ abgeschlossen
Seien [mm] u(x)\in [/mm] V, [mm] \lambda\in\IR. [/mm]
Zeige [mm] \lambda [/mm] u(x) [mm] \in [/mm] V:

[mm] u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i} [/mm]

[mm] \lambda u(x)=\lambdau\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}\lambda a_{i}x^{i} \in [/mm] V, da [mm] \lambda [/mm] * [mm] a_{i} \in [/mm] V [mm] \Box [/mm]


Zeige das [mm] \delta [/mm] linear ist:

Seien [mm] u(x),v(x)\in [/mm] V, [mm] \lambda \in\IR [/mm]

Zu zeigen ist:

1. [mm] \delta(u+v)(x)=(\delta(u)+\delta(v))(x) [/mm]
2. [mm] \lambda\delta(u)(x)=\delta(\lambda*u)(x) [/mm]

1. [mm] \delta(u+v)(x)=(u+v)''(x)+x(u+v)'(x)-(u+v)(x+1)=u''(x)+v''(x)+xu'(x)+xv'(x)-u(x+1)-v(x+1)=(\delta(u)+\delta(v))(x) \Box [/mm]

2. [mm] \lambda\delta(u)(x)=\lambda(u''(x)+xu'(x)-u(x+1))=u''(\lambda x)+xu'(\lambda x)-u(\lambda (x+1))=\delta(\lambda*u)(x) \Box [/mm]


B)
Nach Definition ist [mm] M=(s_{1},...,s_{n}) [/mm] | [mm] s_{i}=K_{B}(\delta(v_{i}), 0
Wähle Basis [mm] B={1,x,x^{2},x^{3},x^{4}} [/mm]

Nach Bestimmung der Spaltenvektoren ergibt sich:

[mm] M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 } [/mm]

C)
Durch Gauß transformeire ich die Matrix zu:

[mm] M'=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Zu sehen ist das [mm] x_{2} [/mm] frei wählbar ist und nur [mm] x_{1} [/mm] von [mm] x_{2} [/mm] abhängt.

Da der Defekt der Matrix 1 ist, ist auch die [mm] dim(\IL_{0})=1. [/mm]

Ermittle Basis:
[mm] x_{2}=t, t\in\IR [/mm]
[mm] x_{1}+t=0\gdw x_{1}=(-t) [/mm]

[mm] B_{Ker}=\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\} [/mm]

D)
So hier weis ich nun nicht weiter da ich ja eine Nullzeile habe.

Der Vektor zu g(x) ist: [mm] g_{v}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3} [/mm]

Ich denke mal das ich irgendwie das Ergebnis aus C benutzen muss, aber irgendwie komm ich nicht auf eine Lösung.
Bis jetzt dachte ich wenn v der gesuchte Vektor ist das ich nur:

[mm] M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }*v+t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3} [/mm]

lösen muss aber ich komm auf kein Ergebnis :(

Weis hier jemand weiter? =)

LG
Michael

        
Bezug
Polynomvektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Do 19.05.2011
Autor: angela.h.b.


> Es sei
>  [mm]V:=\{f:\IR\mapsto\IR| a_{0},...,a_{4}\in\IR\wedge f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i} \forall x\in\IR\}[/mm]
>  
> und [mm]\delta:V\mapsto[/mm] V sei definiert durch:
>  [mm]\delta(f)(x)=f''(x)+xf'(x)-f(x+1).[/mm]
>  
> A)
>  Zeigen Sie das V ein Unterraum von [mm]\IR^{\IR}[/mm] ist und dass
> [mm]\delta[/mm] linear ist.
>  
> B)
>  Berrechnen Sie die Matrix [mm]M(\delta)[/mm] bezüglich einer Basis
> B von V.
>  
> C)
>  Bestimmen Sie eine Basis von Kern [mm]\delta.[/mm]
>  
> D)
>  Sei [mm]g(x)\in[/mm] V mit [mm]g(x)=3x^{4}+2x^{3}-x+1.[/mm] Berechnen Sie
> [mm]\delta^{-1}(g).[/mm]
>  Hallo liebe Community,
>  
> die Wesentliche Frage ist in der C, es wäre nett wenn ihr
> den Rest mal probegucken könntet, eventuell habe ich ja
> auch Folgefehler =(,
>  aber erstmal was ich bereits erarbeitet habe:

Hallo,

ich habe nichts genauer nachgerechnet, aber mal so grob drübergeguckt sieht Dein Tun richtig aus.

>  
> A)
>  Zeige das V Unterraum von [mm]\IR^{\IR}[/mm] ist:
>  
> 1. [mm]0\in[/mm] V
>  Sei [mm]a_{0}=a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=0\in\IR[/mm] , dann ist
>  
> [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}0*x^{i}=0\in[/mm]
> V [mm]\Box[/mm]
>  
> 2. Additativ abgeschlossen
>  Seien [mm]u(x),v(x)\in[/mm] V.
>  Zeige [mm]u(x)+v(x)\in[/mm] V
>  
> [mm]u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}, v(x)=\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}\in[/mm]
> V
>  
> [mm]u(x)+v(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}+\summe_{i=0}^{4}a'_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}(a_{i}+a'{i})x^{i} \in[/mm]
> V, da [mm]a_{i}+a'{i}\in\IR \Box[/mm]
>  
> 3. Multiplikativ abgeschlossen
>  Seien [mm]u(x)\in[/mm] V, [mm]\lambda\in\IR.[/mm]
>  Zeige [mm]\lambda[/mm] u(x) [mm]\in[/mm] V:
>  
> [mm]u(x)=\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}[/mm]
>  
> [mm]\lambda u(x)=\lambdau\summe_{i=0}^{4}a_{i}x^{i}=\summe_{i=0}^{4}\lambda a_{i}x^{i} \in[/mm]
> V, da [mm]\lambda[/mm] * [mm]a_{i} \in[/mm] V [mm]\Box[/mm]
>  
>
> Zeige das [mm]\delta[/mm] linear ist:
>  
> Seien [mm]u(x),v(x)\in[/mm] V, [mm]\lambda \in\IR[/mm]
>  
> Zu zeigen ist:
>  
> 1. [mm]\delta(u+v)(x)=(\delta(u)+\delta(v))(x)[/mm]
>  2. [mm]\lambda\delta(u)(x)=\delta(\lambda*u)(x)[/mm]
>  
> 1.
> [mm]\delta(u+v)(x)=(u+v)''(x)+x(u+v)'(x)-(u+v)(x+1)=u''(x)+v''(x)+xu'(x)+xv'(x)-u(x+1)-v(x+1)=(\delta(u)+\delta(v))(x) \Box[/mm]
>  
> 2.
> [mm]\lambda\delta(u)(x)=\lambda(u''(x)+xu'(x)-u(x+1))=u''(\lambda x)+xu'(\lambda x)-u(\lambda (x+1))=\delta(\lambda*u)(x) \Box[/mm]
>  
>
> B)
>  Nach Definition ist [mm]M=(s_{1},...,s_{n})[/mm] |
> [mm]s_{i}=K_{B}(\delta(v_{i}), 0
>  
> Wähle Basis [mm]B={1,x,x^{2},x^{3},x^{4}}[/mm]
>  
> Nach Bestimmung der Spaltenvektoren ergibt sich:
>  
> [mm]M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
>  
> C)
>  Durch Gauß transformeire ich die Matrix zu:
>  
> [mm]M'=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Zu sehen ist das [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar ist und nur [mm]x_{1}[/mm] von
> [mm]x_{2}[/mm] abhängt.
>  
> Da der Defekt der Matrix 1 ist, ist auch die
> [mm]dim(\IL_{0})=1.[/mm]
>  
> Ermittle Basis:
>  [mm]x_{2}=t, t\in\IR[/mm]
>  [mm]x_{1}+t=0\gdw x_{1}=(-t)[/mm]
>  
> [mm]B_{Ker}=\{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]


Du gibst Deine Basis des Kerns als Koordinatenvektor bzgl B an.
Ich würde ihn unbedingt noch als Element von V, also als Polynom, hinschreiben.


>  
> D)
>  So hier weis ich nun nicht weiter da ich ja eine Nullzeile
> habe.

Ja, das Invertieren klappt hier leider nicht.

Mit [mm] \delta^{-1}(g) [/mm] ist eigentlich gemeint [mm] \delta^{-1}(\{g\}), [/mm] also das Urbild von g.

Ich würde einfach mal ausrechnen, wie die Koeffizienten von [mm] \summe a_ix^i [/mm] sein müssen, damit [mm] \delta(\summe a_ix^i)=g(x) [/mm] richtig ist.

Das kannst Du tun, indem Du

[mm] M*\vektor{a_0\\\vdots\\a_4}=$\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] .

Wenn Du über inhomogene LGS Bescheid weißt, dann reicht Dir eine einzige Lösung dieses Systems, und Du weißt, daß man alle anderen durch Addition des Kerns bekommt.

Gruß v. Angela


>  
> Der Vektor zu g(x) ist: [mm]g_{v}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>  
> Ich denke mal das ich irgendwie das Ergebnis aus C benutzen
> muss, aber irgendwie komm ich nicht auf eine Lösung.
>  Bis jetzt dachte ich wenn v der gesuchte Vektor ist das
> ich nur:
>  
> [mm]M=\pmat{ -1 & -1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 }*v+t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>  
> lösen muss aber ich komm auf kein Ergebnis :(
>  
> Weis hier jemand weiter? =)
>  
> LG
>  Michael


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