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Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:58 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Aufgabe
Potenzmenge:
1) Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass [mm] 2^A∪2^B [/mm] ⊂ 2^(A∪B) ist und im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.
2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf X. Beweisen Sie folgende Aussagen: (i) B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F}^{} [/mm] M]= [mm] [\bigcup_{M∈F}^{} [/mm]  (B∩M) und (ii) B\ [mm] [\bigcup_{M∈F}^{} [/mm] M= [mm] \bigcup_{M∈F}^{} [/mm] (B \ M).
3)Beweisen Sie:
Es sei (G,∗) eine Halbgruppe, sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind: (i) Es gibt ein e ∈ G mit e∗a = a für alle a ∈ G; (ii) zu jedem a ∈ G gibt es ein a0 ∈ G mit a0∗a = e.
Dann ist (G,∗) schon eine Gruppe.



Hallo liebe Gemeinde,

bei den obigen Aufgaben komme ich noch nicht so richtige weiter, bzw. fehlt mir ein Ansatz, wie ich sie beweisen kann.

Ist der Beweis bei 1) so richtig und durch welches Beispiel kann man Ungleichheit zeigen:?
x [mm] \in 2^A [/mm] u [mm] 2^B [/mm] -> x [mm] \in 2^A [/mm] oder x [mm] \in 2^B [/mm] -> x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B-> x -> AuB -> x [mm] \in [/mm] 2^AuB


        
Bezug
Potenzmengen: Aufgabe 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mi 08.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo,

Deine Idee zu Aufgabe 1) ist korrekt, überlege aber nochmal, welcher Schritt dazu führt, dass [mm] 2^{A}\cup2^{B}\subset2^{A\cup B} [/mm] ist, und im Allgemeinen nicht [mm] 2^{A}\cup2^{B}=2^{A\cup B} [/mm]

Marius
 

Bezug
        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Mi 08.11.2017
Autor: fred97


> Potenzmenge:
>  1) Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass [mm]2^A∪2^B[/mm] ⊂
> 2^(A∪B) ist und im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.
> 2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf
> X. Beweisen Sie folgende Aussagen: (i) B∩ [ [mm]\bigcup_{M \in F}^{}[/mm]
> M]= [mm][\bigcup_{M∈F}^{}[/mm]  (B∩M) und (ii) B\
> [mm][\bigcup_{M∈F}^{}[/mm] M= [mm]\bigcup_{M∈F}^{}[/mm] (B \ M).
> 3)Beweisen Sie:
> Es sei (G,∗) eine Halbgruppe, sodass folgende
> Eigenschaften erfüllt sind: (i) Es gibt ein e ∈ G mit
> e∗a = a für alle a ∈ G; (ii) zu jedem a ∈ G gibt es
> ein a0 ∈ G mit a0∗a = e.
> Dann ist (G,∗) schon eine Gruppe.
>  
>
> Hallo liebe Gemeinde,
>  
> bei den obigen Aufgaben komme ich noch nicht so richtige
> weiter, bzw. fehlt mir ein Ansatz, wie ich sie beweisen
> kann.
>  
> Ist der Beweis bei 1) so richtig und durch welches Beispiel
> kann man Ungleichheit zeigen:?
>  x [mm]\in 2^A[/mm] u [mm]2^B[/mm] -> x [mm]\in 2^A[/mm] oder x [mm]\in 2^B[/mm] ->


x [mm]\in[/mm] A

> oder x [mm]\in[/mm] B->

Hier sollte es lauten $x [mm] \subseteq [/mm] A$ oder $x [mm] \subseteq [/mm] B$



x -> AuB

Hier: $x [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$


> -> x [mm]\in[/mm] 2^AuB
>  


Für die Ungleichheit: betrachte [mm] A=\{0\} [/mm] und [mm] B=\{1\} [/mm]

Bezug
                
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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Ok, hab's verstanden. Bei [mm] 2^A [/mm] u [mm] 2^B [/mm] fehlt bei Element A=(1) und B=(2) das Element (1,2), das bei 2^(AuB) vorhanden ist.
Kann mir jetzt noch jemand bei den beiden anderen Aufgaben helfen.

Bezug
        
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Potenzmengen: Aufgabe 3)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mi 08.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo nochmal,

Zu Aufgabe 3)
Hier musst du die MBGruppenaxiome prüfen, da (G,∗) eine Halbgruppe ist, natürlich nur noch die Axiome, die zusätzlich zur MBHalbgruppe dazukommen.



Marius

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Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben sind?

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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Mi 08.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre
> Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale
> Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine
> Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese
> ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben
> sind?

so wie du die Aufgabenstellung wiedergegeben hast gebe ich dir Recht: da gibt es nichts zu beweisen.


Gruß, Diophant

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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Was könnte ich denn dort beweisen, vielleicht die beiden einzelnen aussagen zum neutralen Element und der Inverse? Gibt das Sinn diese zu beweisen?

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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Mi 08.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Was könnte ich denn dort beweisen, vielleicht die beiden
> einzelnen aussagen zum neutralen Element und der Inverse?
> Gibt das Sinn diese zu beweisen?

Nein, denn die sind ja vorgegeben. Du könntest noch begründen, weshalb Abgeschlossenheit und Assoziativgesetz weiterhin gelten, das ist aber auch offensichtlich.

Und dann könnte man die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element beweisen, aber auch das muss man nicht, denn das gilt in jeder Gruppe.

Also wenn da sonst wirklich nichts weiteres gefordert war, dann würde ich sagen, dass diese Aufgabenstellung ziemlich 'verunglückt' ist.


Gruß, Diophant

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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

könnte mir denn noch jemand bei einer der Teilaufgaben von 2) einen Tipp geben. Mir ist klar, dass man das mit x [mm] \in [/mm] ... auseinanderziehen kann, aber mit dem Mengensystemzeichen ist mir nicht ganz klar, wie ich das dann fertig bekomme.

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Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mi 08.11.2017
Autor: angela.h.b.


> eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre
> Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale
> Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine
> Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese
> ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben
> sind?

Hallo,

ich vermute, daß in Eurer Definition für "Gruppe" steht, daß es ein neutrales Element e gibt mit e*a=a*e=a für alle a,
und daß Du nun zeigen sollst, daß unter den angegebenen Voraussetzungen auch a*e=a ist füralle a.

Fürs inverse Element entsprechend.

LG Angela




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Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Vielen Dank schonmal für eure Mühe.
Ich habe jetzt einfach mal die Eindeutigkeit der Inverse und des neutr. Elements gezeigt und gezeigt, dass es diese sowohl rechts- und linksseitig gibt.
Ich bräuchte jetzt nur noch etwas Hilfe bei Nr. 2

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Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Do 09.11.2017
Autor: angela.h.b.


> 2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf
> X. Beweisen Sie folgende Aussagen:
> (i) B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]= [mm] \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)

Hallo,

es ist schade, daß Du gar keine eigenen Ansätze, Überlegungen oder konkrete Fragen postest. Wenn man eine Ahnng hat, an welcher Stelle es klemmt, kann man viel besser helfen.

Wenn Du die Gleichheit A=B von Mengen A,B zeigen möchtest,
mußt Du die beiden Teilmengenbeziehung [mm] A\subseteq [/mm] B  und [mm] B\subseteq [/mm] A zeigen.
Dies tut man elementweise, indem man vorrechnet, daß jedes Element aus A auch in B liegt, die andere Teilmengenbeziehung entsprechend.

Hier ist also zu zeigen:
a. B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} M]\subseteq\bigcup_{M\in F}(B\capM) [/mm] ,
    d.h. [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M] ==> [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)
b. [mm] \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M) [mm] \subseteq [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]
    d.h. ...

zu a.

Sei [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]

==> [mm] x\in [/mm] B und [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] M

[Um nun weitermachen zu können, muß man sich mit [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M beschäftigen: F ist lt. Aufgabenstellung ein Mengensystem X, also eine Menge, die Teilmengen von X enthält, und [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M ist die Vereinigung all dieser Mengen. Jedes Element von [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M liegt also in irgendeiner der Mengen des Mengensystems F.]

==> [mm] x\in [/mm] B und es gibt eine Menge [mm] A\in [/mm] F mit [mm] x\in [/mm] A

==> es gibt eine Menge A [mm] \in [/mm] F mit [mm] x\in B\cap [/mm] A

==> [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)

In diesem Stil bearbeite auch b.  und die nächste Teilaufgabe.

LG Angela




> und
> (ii) B\ [mm][\bigcup_{M\in F}^{}[/mm] M= [mm]\bigcup_{M\in F}^{}[/mm] (B \ M).


Bezug
                
Bezug
Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:00 Do 09.11.2017
Autor: Tobikall

ok, danke für deinen Antwort, damit müsste die i) so richtig sein??:
mir war dabei nur nicht ganz bewusst, wie ich das mengensystemzeichen behandeln soll, den rest mit dem [mm] x\in... [/mm] kenne ich.

a) Sei $ [mm] x\in [/mm] $ B∩ [ $ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M]
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und $ [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und es gibt eine Menge $ [mm] M\in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in [/mm] $ M
==> es gibt eine Menge M $ [mm] \in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in B\cap [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] $ M)

b) sei [mm] x\in [/mm] [ $ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] $ (B [mm] \cap [/mm] M]
==> es gibt eine Menge M $ [mm] \in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in B\cap [/mm] $ M
==>$ [mm] x\in [/mm] $ B und es gibt eine Menge $ [mm] M\in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und $ [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M
==> [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]


Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Do 09.11.2017
Autor: Tobikall

könnte mir denn noch jemand sagen, ob das so richtig ist, wie ich die 2. i) gemacht habe?

Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Fr 10.11.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

das ist so richtig -auch wenn ich lieber "es gibt ein [mm] A\in [/mm] F" geschrieben hätte, um das M nicht in zweierlei Bedeutung zu verwenden.

LG Angela

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