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Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:13 Fr 11.08.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu Potenzreihen.

Im Forster steht folgende Definition und Bemerkung:


Definition: Sei f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n} [/mm] eine Potenzreihe. Dann heißt

R:= [mm] sup\{|z-a| : \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} konvergiert\} [/mm]

Konvergenzradius der Potenzreihe.


[/u]Bemerkung: [/u]

Es gilt R [mm] \in \R_{+} \cup \{\infty\}. [/mm] Nach dem Satz über die gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen konvergiert für jedes r [mm] \in [/mm] [0, R[ die Potenzreihe gleichmäßig auf K(a,r), wobei

K(a,r) := [mm] \{z \in \IC: |z-a| \le r\}. [/mm]

Die Potenzreihe konvergiert sogar in der offenen Kreisscheibe

B(a,R) := [mm] \{z \in \IC: |z-a| < R}, [/mm]

da B(a,R) = [mm] \bigcup_{r


Nun meine zwei Frage:

1) Konvergiert die Potenzreihe in B(a,R), da B(a,R) die Vereinigung aller K(a,r) mit r < R ist und sie somit notwendigerweise in B(a,R) konvergieren muss, da sie im Konvergenzradius liegt?


2) Wieso ist die Konvergenz in B(a,R) im Allgemeinen nicht gleichmäßig?


Würde mich, wie immer, über Antworten freuen!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:37 Fr 11.08.2017
Autor: fred97


> Hallo zusammen!
>  
> Ich habe eine Frage zu Potenzreihen.
>  
> Im Forster steht folgende Definition und Bemerkung:
>  
>
> Definition: Sei f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}[/mm]
> eine Potenzreihe. Dann heißt
>  
> R:= [mm]sup\{|z-a| : \summe_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n} konvergiert\}[/mm]
>  
> Konvergenzradius der Potenzreihe.
>  
>
> [/u]Bemerkung:[/u]
>  
> Es gilt R [mm]\in \R_{+} \cup \{\infty\}.[/mm] Nach dem Satz über
> die gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen konvergiert
> für jedes r [mm]\in[/mm] [0, R[ die Potenzreihe gleichmäßig auf
> K(a,r), wobei
>
> K(a,r) := [mm]\{z \in \IC: |z-a| \le r\}.[/mm]
>  
> Die Potenzreihe konvergiert sogar in der offenen
> Kreisscheibe
>  
> B(a,R) := [mm]\{z \in \IC: |z-a| < R},[/mm]
>  
> da B(a,R) = [mm]\bigcup_{r
> Konvergenz im Allgemeinen jedoch nicht gleichmäßig.
>  
>
>
> Nun meine zwei Frage:
>
> 1) Konvergiert die Potenzreihe in B(a,R), da B(a,R) die
> Vereinigung aller K(a,r) mit r < R ist und sie somit
> notwendigerweise in B(a,R) konvergieren muss, da sie im
> Konvergenzradius liegt?

Ja


>  
>
> 2) Wieso ist die Konvergenz in B(a,R) im Allgemeinen nicht
> gleichmäßig?
>  

Dafür gibt es Beispiele.  Die geometrische Reihe konvergiert in B (0,1) nicht gleichmäßig

Versuch mal einen Beweis



>
> Würde mich, wie immer, über Antworten freuen!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Fr 11.08.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke für's Antworten!

> Dafür gibt es Beispiele.  Die geometrische Reihe
> konvergiert in B (0,1) nicht gleichmäßig
>
> Versuch mal einen Beweis

Okay, kurz zur Abklärung, die Definition für gleichmäßige Konvergenz lautet ja wie folgt:

Sei K eine Menge und seinen [mm] f_{n}: [/mm] K [mm] \to \IC, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] Funktionen.
Die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f: K [mm] \to \IC, [/mm] falls gilt:

Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert ein N = [mm] N(\epsilon), [/mm] so dass
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \in \K [/mm] und alle n [mm] \ge [/mm] N.



Die Verneinung wäre ja dann:

Es existiert ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass kein N existiert mit
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] K und alle n [mm] \ge [/mm] N

Daraus folgt, dass zu jedem N gewisse x [mm] \in [/mm] K und n [mm] \ge [/mm] N existieren, sodass
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - (x)| [mm] \ge \epsilon. [/mm]


Wäre dies soweit korrekt?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Fr 11.08.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred und Danke für's Antworten!
>  
> > Dafür gibt es Beispiele.  Die geometrische Reihe
> > konvergiert in B (0,1) nicht gleichmäßig
> >
> > Versuch mal einen Beweis
>
> Okay, kurz zur Abklärung, die Definition für
> gleichmäßige Konvergenz lautet ja wie folgt:
>  
> Sei K eine Menge und seinen [mm]f_{n}:[/mm] K [mm]\to \IC,[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm]
> Funktionen.
>  Die Folge [mm](f_{n})[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen eine
> Funktion f: K [mm]\to \IC,[/mm] falls gilt:
>  
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert ein N = [mm]N(\epsilon),[/mm] so
> dass
>  [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in \K[/mm] und alle n
> [mm]\ge[/mm] N.
>  
>
>
> Die Verneinung wäre ja dann:
>  
> Es existiert ein [mm]\epsilon[/mm] > 0, sodass kein N existiert mit
>  [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] K und alle n
> [mm]\ge[/mm] N
>  
> Daraus folgt, dass zu jedem N gewisse x [mm]\in[/mm] K und n [mm]\ge[/mm] N
> existieren, sodass
>  [mm]|f_{n}(x)[/mm] - (x)| [mm]\ge \epsilon.[/mm]
>  
>
> Wäre dies soweit korrekt?

ja


>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Sa 12.08.2017
Autor: X3nion


>   Die Folge [mm](f_{n})[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen eine
> Funktion f: K [mm]\to \IC,[/mm] falls gilt:
>  
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 existiert ein N = [mm]N(\epsilon),[/mm] so dass
>   [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in \K[/mm] und
> alle n  [mm]\ge[/mm] N.
>

> Die Verneinung wäre ja dann:
> Es existiert ein [mm]\epsilon[/mm] > 0, sodass kein N existiert mit
>   [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] K und alle
> n [mm]\ge[/mm] N
>
> Daraus folgt, dass zu jedem N gewisse x [mm]\in[/mm] K und n [mm]\ge[/mm] N  existieren, sodass
>   [mm]|f_{n}(x)[/mm] - f(x)| [mm]\ge \epsilon.[/mm]


Eine Kleinigkeit ist mir aufgefallen.
Müsste die Folgerung der Verneinung nicht wie folgt lauten:

Daraus folgt, dass zu jedem N gewisse x [mm] \in [/mm] K oder n [mm] \ge [/mm] N existieren, sodass

[mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge \epsilon [/mm] ?


Weil die Verneinung lautet ja, dass ein [mm] \epsilon [/mm] > 0 existiert, sodass kein N existiert mit [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] K und zugleich alle n [mm] \ge [/mm] N. Das würde ja aber bedeuten, dass Ausnahmen mit [mm] |f_{n}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge \epsilon [/mm] für gewisse x [mm] \in [/mm] K oder n [mm] \ge [/mm] N existieren.

Oder irre ich mich da?



Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                                        
Bezug
Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Sa 12.08.2017
Autor: leduart

Hallo
was wisst du denn mit dem oder n sagen, wenn es schon kein x gibt?
i.A, ist es doch so, dass es zu jedem x ein N gibt, nur hängt das N von x ab.
Beispiel f(x)=1/x nicht glm stetig auf [mm] (0,\infty) [/mm]  aber zu jedem x in dem Intervall gibt es ein N.
Gruß ledum


Bezug
                                                
Bezug
Potenzreihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:35 Mo 14.08.2017
Autor: X3nion

Hallo ledum,

Danke für dein Beispiel!
An dem Beweis, dass die geometrische Reihe in (0,1) nicht gleichmäßig konvergiert, versuche ich mich die nächsten Tage mal.

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
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