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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Fr 17.03.2006 | | Autor: | ronald |
| Aufgabe | Eine abelsche Gruppe A sei durch folgende Präsentierungmatrix gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 1 &0 \\ 1 & 6 & 5 \\ 5 &0 &5}
[/mm]
(a) Geben Sie eine Darstellung von A als Produkt primärer zyklischer abelscher Gruppen sowie die Elementarteiler von A an.
(b) Geben ein minimales Erzeugendensystem von A sowie die invariaten Teiler von A an. |
Hallo zusammen,
ich kann mit dieser Aufgabe nicht viel anfangen. Ich verstehe nicht wie die Elementarteiler von A mit der Präsentierungsmatrix zusammenhängen. Bin für jede Idee und jeden Tipp dankbar.
Grüsse
ronald
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Fr 17.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ronald!
> Eine abelsche Gruppe A sei durch folgende
> Präsentierungmatrix gegeben:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 &0 \\ 1 & 6 & 5 \\ 5 &0 &5}[/mm]
Damit ist doch gemeint, dass du die Matrix als Abbildung [mm] $f_A [/mm] : [mm] \IZ^3 \to \IZ^3$ [/mm] auffasst und dann $A [mm] \cong \IZ^3/\ker f_A$ [/mm] ist? Oder sogar $A = [mm] \IZ^3/\ker f_A$ [/mm] fuer die Teilaufgaben wo man Elemente aus $A$ angeben soll?
> (a) Geben Sie eine Darstellung von A als Produkt primärer
> zyklischer abelscher Gruppen sowie die Elementarteiler von
> A an.
> (b) Geben ein minimales Erzeugendensystem von A sowie die
> invariaten Teiler von A an.
> Hallo zusammen,
> ich kann mit dieser Aufgabe nicht viel anfangen. Ich
> verstehe nicht wie die Elementarteiler von A mit der
> Präsentierungsmatrix zusammenhängen. Bin für jede Idee und
> jeden Tipp dankbar.
Sagt dir Smith-(Normal-)Form einer Matrix etwas? Schau doch mal in die Vorlesung, wo ihr das Thema endlich erzeugte abelsche Gruppen behandelt habt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 17.03.2006 | | Autor: | ronald |
Hi Felix,
erst mal vielen dank für die schnelle Antwort. Wir haben zwar einen netten Alga-Prof. Er ist aber etwas chaotisch und sein skript dementsprechend auch. Deswegen will ich mir Theorie teilweise durch Lösen von Übungsaufgaben aneignen. Learning by doing halt. Zur Aufgabe: ja, ich kenne die Smithnormalform. Ich kann sogar praktisch damit umgehen, nur verstehe ich nicht ganz die Theorie hinter den ganzen Themen, bei denen dieses Verfahren angewendet wird.
> Damit ist doch gemeint, dass du die Matrix als Abbildung
> [mm]f_A : \IZ^3 \to \IZ^3[/mm] auffasst
Was tut diese Abbildung genau und was hat das mit der abelschen Gruppe zu tun?(sorry für diese grundlegenden und "dummen" Fragen?)
Wenn ich die Matrix auf die Smithnormalform gebracht habe, kann ich doch die Invariantenteiler auf der Diagonale ablesen? Und die Elementarteiler sind die irreduzible Polynome der Invariantenteiler?
LG
Ronald
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Fr 17.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Ronald!
> erst mal vielen dank für die schnelle Antwort. Wir haben
> zwar einen netten Alga-Prof. Er ist aber etwas chaotisch
> und sein skript dementsprechend auch. Deswegen will ich mir
> Theorie teilweise durch Lösen von Übungsaufgaben aneignen.
> Learning by doing halt. Zur Aufgabe: ja, ich kenne die
> Smithnormalform. Ich kann sogar praktisch damit umgehen,
> nur verstehe ich nicht ganz die Theorie hinter den ganzen
> Themen, bei denen dieses Verfahren angewendet wird.
>
> > Damit ist doch gemeint, dass du die Matrix als Abbildung
> > [mm]f_A : \IZ^3 \to \IZ^3[/mm] auffasst
>
> Was tut diese Abbildung genau
Sie ist die 'kanonische lineare Abbildung' zur Matrix $M$, also [mm] $f_A [/mm] : [mm] \IZ^3 \to \IZ^3$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] M x$.
Oder aber auch $x [mm] \mapsto [/mm] x M$, wenn ihr mit Zeilenvektoren arbeitet. Ich geh im Folgenden mal von Spaltenvektoren aus, also von $x [mm] \mapsto [/mm] M x$.
> und was hat das mit der abelschen Gruppe zu tun?
Das hatte ich vorhin schon geschrieben  Es gilt wahrscheinlich $A [mm] \cong \IZ^3/\ker f_A [/mm] = [mm] \IZ^3/\ker [/mm] M$ oder sogar $A = [mm] \IZ^3/\ker f_A$.
[/mm]
> (sorry für diese grundlegenden und "dummen" Fragen?)
> Wenn ich die Matrix auf die Smithnormalform gebracht habe,
> kann ich doch die Invariantenteiler auf der Diagonale
> ablesen?
Ja. Weisst du auch warum? (Wenn $M = U S V$ ist mit $U, V [mm] \in GL_3(\IZ)$ [/mm] und $S$ der Smith-Form, dann induzieren $U$ und $V$ Automorphismen von [mm] $\IZ^3$, [/mm] und wenn du das mit der Abbildung oben verkettest... das ist jetzt allerdings reine lineare Algebra. Du musst dich dran erinnern, wie das mit der Beziehung zwischen linearen Abbildungen + Verkettung und Matrizen + Multiplikation war!)
> Und die Elementarteiler sind die irreduzible
> Polynome der Invariantenteiler?
Was fuer irreduzible Polynome?!
Wenn Elementarteiler bei euch das gleiche sind wie im allgemeinen ueblichen Sprachgebrauch, dann musst du die Invariantenteiler nehmen, jeweils als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben (mit verschiedenen Primzahlen pro Invariantenteiler), und dann alles zusammenfassen.
Ein kleines Beispiel: Sei $A [mm] \cong \Z_{6} \times \Z_{72}$ [/mm] (das ist die Invariantenteilerdarstellung). Nun ist $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3$ und $72 = [mm] 2^3 \cdot 3^2$, [/mm] womit die Elementarteilerdarstellung durch $A [mm] \cong \Z_2 \times \Z_3 \times \Z_{2^3} \times \Z_{3^2}$ [/mm] gegeben ist.
LG Felix
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