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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Primideale/max. Ideale
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Primideale/max. Ideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Do 09.11.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
Sei R ein Ring mit der EIgenschaft, dass zu jedem [mm] x\inR [/mm] ein [mm] n\in\IN_{>1} [/mm] ex., derart dass [mm] x^n=x [/mm] gilt. Zeigen, Sie dass jedes Primideal von R bereits maximal ist.

Hallo zusammen,

Ich weiß, dass wenn [mm] \mathfrak{p}\subseteq [/mm] R ein Primideal genau dann wenn [mm] R/\mathfrak{p} [/mm] Intergritätsring.


und sei [mm] I\subseteq [/mm] R max. Ideal. Dann folgt R/I Körper. Und da max. Ideale nie der ganze Körper muss [mm] \lbrace 0\rbrace [/mm] max. Ideal sein.

Sei [mm] \mathfrak{p}\subseteq [/mm] R Primideal, sei [mm] \mathfrak{p} \subseteq [/mm] I ein größeres Ideal und [mm] x\in I\setminus\mathfrak{p} [/mm]
. Wähle [mm] x^n=x. [/mm] Dann gilt [mm] x(1-x^{n-1})=x-x^n=0\in\mathfrak{p}. [/mm] Wegen [mm] x\not\in \mathfrak{p} [/mm] folgt [mm] 1-x^{n-1}\in\mathfrak{p}, [/mm] also [mm] 1\in \mathfrak{p}+x^{n-1}\subeteq [/mm] I folglich ist I=R.

Irgendwie komme ich nicht weiter.  Kann mir jemand da weiterhelfen? Danke

        
Bezug
Primideale/max. Ideale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Sa 11.11.2017
Autor: knowhow

Kann mir da wirklich niemand helfen?

Bezug
                
Bezug
Primideale/max. Ideale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Sa 11.11.2017
Autor: UniversellesObjekt


Bezug
        
Bezug
Primideale/max. Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Sa 11.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Ist schon richtig so. Etwas eleganter wäre es, zu bemerken, dass ein Integritätsbereich, indem es für alle $x$ ein $n$ gibt mit [mm] $x^n=x$, [/mm] ein Körper ist. Ist nämlich [mm] $x\not=0$, [/mm] so folgt aus [mm] $x^n=x$, [/mm] dass [mm] $x^{n-1}=1$ [/mm] und dies zeigt, dass $x$ invertierbar ist.

Nun wendet man das auf [mm] $R/\mathfrak{p}$ [/mm] an.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Primideale/max. Ideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 So 12.11.2017
Autor: knowhow

Vielen Dank:)

Ich habe dazu noch eine Frage: Aber gibt es Ringe, die die Eigenschaften erfüllen, dass jede Primideale auch maximale Ideale sind, aber keinen Körper sind?

Bezug
                        
Bezug
Primideale/max. Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Di 14.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Ja, die gibt es. [mm] $\IZ/4$ [/mm] ist ein Beispiel. Solche Ringe nennt man nulldimensional.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
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