www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Projektion Punkt-Ebene
Projektion Punkt-Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Projektion Punkt-Ebene: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 08.07.2015
Autor: Pingumane

Aufgabe
Eine gerade quadratische Pyramide sei durch folgende Angaben gegeben:

- Eckpunkt der Grundfläche A = (-4, -3, 7)
- Spitze der Pyramide S = (8, 9, 10)
- Normalenvektor der Grundfläche n = (2, 2, -1)

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt.

b) Bestimmen Sie die Projektion S* von S auf die Grundfläche.

c) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide


Guten Tag,

ich komme bei der Teilaufgabe b), der Projektion, leider nicht weiter.

Aber erst mal von vorne.

a) n ist gegeben, Punkt auf der Ebene ist gegeben ->

[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm] * [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-4 \\ -3 \\ 7}] [/mm]

Überlegungen zu c):

V = 1/3 A * h

A ist |n|
h ist der Abstand S* zu S
oder auch: Abstand S zur Ebene

|n| = [mm] \wurzel{2^2+2^2+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3

n normiert -> [mm] \bruch{1}{3}*\vec{n} [/mm]

Punkt S in die HNF der Ebene eingesetzt und ausgerechnet:
d = 45 = h

V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 3 * 45 = 45 VE

Das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis von 720 VE. Wo liegt mein Fehler?

Und wie gelingt mir b), die Projektion auf die Grundfläche?


Liebe Grüße,
Pingumane


Edit: Bezeichnung S korrigiert

        
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 08.07.2015
Autor: fred97


> Eine gerade quadratische Pyramide sei durch folgende
> Angaben gegeben:
>  
> - Eckpunkt der Grundfläche A = (-4, -3, 7)
>  - Spitze der Pyramide D = (8, 9, 10)
>  - Normalenvektor der Grundfläche n = (2, 2, -1)
>  
> a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, in der die
> Grundfläche der Pyramide liegt.
>  
> b) Bestimmen Sie die Projektion S* von S auf die
> Grundfläche.

Was ist S ? Ist S=D ?


>  
> c) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide
>  Guten Tag,
>  
> ich komme bei der Teilaufgabe b), der Projektion, leider
> nicht weiter.
>  
> Aber erst mal von vorne.
>  
> a) n ist gegeben, Punkt auf der Ebene ist gegeben ->
>  
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm] * [ [mm]\vec{x}[/mm] -
> [mm]\vektor{-4 \\ -3 \\ 7}][/mm]

O.K.


>  
> Überlegungen zu c):
>  
> V = 1/3 A * h
>  
> A ist |n|

Hä ? Wie kommst Du darauf ??

FRED



>  h ist der Abstand S* zu S
>  oder auch: Abstand S zur Ebene
>  
> |n| = [mm]\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{9}[/mm] = 3
>  
> n normiert -> [mm]\bruch{1}{3}*\vec{n}[/mm]
>  
> Punkt S in die HNF der Ebene eingesetzt und ausgerechnet:
>  d = 45 = h
>  
> V = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * 3 * 45 = 45 VE
>  
> Das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis von 720 VE. Wo
> liegt mein Fehler?
>  
> Und wie gelingt mir b), die Projektion auf die
> Grundfläche?
>  
>
> Liebe Grüße,
>  Pingumane


Bezug
                
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Mi 08.07.2015
Autor: Pingumane

Ja, da habe ich mich vertippt. Die Spitze ist S, nicht D.

Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ergibt doch den orientierten Flächeninhalt der aufgespannten Fläche.

Der Normalenvektor ist genau das Kreuzprodukt. Also habe ich davon den Betrag gebildet.
Ist das falsch?

Bezug
                        
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mi 08.07.2015
Autor: fred97


> Ja, da habe ich mich vertippt. Die Spitze ist S, nicht D.
>  
> Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ergibt doch
> den orientierten Flächeninhalt der aufgespannten Fläche.

Kreuzprodukt welcher Vektoren ?

FRED


>  
> Der Normalenvektor ist genau das Kreuzprodukt. Also habe
> ich davon den Betrag gebildet.
>  Ist das falsch?


Bezug
                                
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Mi 08.07.2015
Autor: Pingumane

Die Vektoren, welche die Ebene der Grundfläche aufspannen.
Die sind nicht explizit gegeben; aber deren Kreuzprodukt, der Normalenvektor.

Bezug
                                        
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Mi 08.07.2015
Autor: leduart

Hallo
Das Kreuzprodukt der 2 Grundseiten hat die Richtung des Normalenvektors, aber es gibt viele Normalenvektoren und nicht nur den!
Wenn du dir die Strecke AS berechnest, und dann mal aufzeichnest, kannst du direkt sehen, dass der gegebene Normalenvektor sicher nicht den Betrag der Grundflaeche angeben kann
aber die Gerade durch S  in Normalenrichtung schneidet E in dem Projetionspunkt. damit hast du die Mitte des Quadrates, und kannst die Laenge der Diagonalen aus AS^* bestimmen.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Projektion Punkt-Ebene: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mi 08.07.2015
Autor: Pingumane

Okay, dann auf:

Ich habe die Ebene in Koordinatenform umgeschrieben:
2x + 2y - z = -21

Die Gerade, welche durch den Aufpunkt S und den Richtungsvektor n gegeben ist, in diese Gleichung einsetzen.
[mm] \lambda [/mm] = -5

In die Geradengleichung -> Schnittpunkt [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 15}. [/mm]

Danke für den Hinweis!

Und jetzt verstehe ich auch, worauf ihr hinauswollt. Ja, meine Annahme war etwas naiv :D

Zum Volumen:

Mit bekanntem S* ermittelt man die Diagonale mit [mm] 2*|\overline{AS^*}| [/mm]
A = [mm] \bruch{d^2}{2} [/mm] = 144

Höhe h ermittelt man durch [mm] |\overline{SS^*}| [/mm] = 15

V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * A * h = 720 VE

Vielen Dank!



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de