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Forum "Zahlentheorie" - Pseudoprimzahl zur Basis b
Pseudoprimzahl zur Basis b < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Pseudoprimzahl zur Basis b: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Sa 19.11.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Sei $n$ eine Pseudoprimzahl zur Basis $b$ mit $ ggT(b-1,n) = 1 $. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] $N=\frac{b^n-1}{b-1}$ [/mm] eine Pseudoprimzahl zur Basis $b$ ist.

Hallo,

mein Ansatz lautet aktuell leider nur:

Sei $n$ eine Pseudoprimzahl zur Basis $b$, sodass [mm] $b^{n-1}\equiv [/mm] 1 (mod n)$ oder [mm] $b^n \equiv [/mm] b (mod n)$ oder auch [mm] $b^n-b \equiv [/mm] 0 (mod n)$. Wie gehe ich hier weiter vor?


Viele Grüße,
Marc

        
Bezug
Pseudoprimzahl zur Basis b: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 So 20.11.2016
Autor: felixf

Moin Marc!

> Sei [mm]n[/mm] eine Pseudoprimzahl zur Basis [mm]b[/mm] mit [mm]ggT(b-1,n) = 1 [/mm].
> Zeigen Sie, dass dann auch [mm]N=\frac{b^n-1}{b-1}[/mm] eine
> Pseudoprimzahl zur Basis [mm]b[/mm] ist.
>  Hallo,
>  
> mein Ansatz lautet aktuell leider nur:
>  
> Sei [mm]n[/mm] eine Pseudoprimzahl zur Basis [mm]b[/mm], sodass [mm]b^{n-1}\equiv 1 (mod n)[/mm]
> oder [mm]b^n \equiv b (mod n)[/mm] oder auch [mm]b^n-b \equiv 0 (mod n)[/mm].
> Wie gehe ich hier weiter vor?

Wegen $ggT(b-1, n) = 1$ kannst du $b - 1 [mm] \equiv [/mm] x [mm] \pmod{n}$ [/mm] schreiben für ein passendes $x$. Da [mm] $b^n [/mm] - 1$ durch $n$ teilbar ist, ist somit $N [mm] \equiv (b^n [/mm] - 1) [mm] \cdot [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{n}$, [/mm] also $N = n [mm] \cdot [/mm] y$ für passendes $y [mm] \in \IN$. [/mm]

Damit kannst du jetzt [mm] $b^N \pmod{n}$ [/mm] ausrechnen.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Pseudoprimzahl zur Basis b: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:55 Mo 21.11.2016
Autor: MarcHe

Hallo,

wieso gilt [mm] $n|b^n-1$ [/mm] und warum kann ich aus $ [mm] N=\frac{b^n-1}{b-1} [/mm] $ folgendes $N = [mm] (b^n-1) [/mm] * (b-1) mod (n)$ machen?

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                        
Bezug
Pseudoprimzahl zur Basis b: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Di 29.11.2016
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> wieso gilt [mm]n|b^n-1[/mm]

das erschließt sich mir auch nicht. Aber wegen [mm] $b^{n-1} \equiv [/mm] 1$ mod [mm] $n\,$ [/mm] gilt
sicher [mm] $n|(b^{n-1}-1)\,.$ [/mm]

Zunächst ist

    [mm] $N-1=\frac{b^n-1}{b-1}-\frac{b-1}{b-1}=\frac{b^n-b}{b-1}=\frac{b*(b^{n-1}-1)}{b-1}$ [/mm]

Wegen $n | [mm] (b^{n-1}-1)$ [/mm] (da [mm] $b^{n-1}\equiv [/mm] 1$ mod [mm] $n\,$) [/mm] gibt es also ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm]
mit

    [mm] $N-1=\frac{bkn}{b-1}=b*n*\frac{k}{b-1}\,.$ [/mm]

Da $b$ und $b-1$ teilerfremd sind ($(-1)*(b-1)+1*b=1$ zeigt ja [mm] $\ggT(b,b-1)=1$), [/mm] und weil
nach Voraussetzung [mm] $\ggT(b-1,n)=1$ [/mm] gilt, muss wegen $N-1 [mm] \in \IN$ [/mm] dann $b-1$ ein Teiler
von [mm] $k\,$ [/mm] sein.

Also folgt $N-1 [mm] \equiv [/mm] 0$ mod $n$ bzw. $N [mm] \equiv [/mm] 1$ mod n. Es gibt also ein
$y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit

    $N=1+yn$

...

Vielleicht jetzt nochmal gucken, was Hippias weiter vorgeschlagen hat ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Pseudoprimzahl zur Basis b: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Di 29.11.2016
Autor: hippias

Indem Du mit der Formel für die geometrische Reihe herumspielst, kannst Du zeigen, dass
1. $N=1 [mm] \pmod [/mm] n$
2. [mm] $b^{n}= [/mm] 1 [mm] \pmod [/mm] N$

Damit folgt dann die Behauptung.

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