Pyramide halbieren < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine gerade quadratische Pyramide, welche durch Halbierung
eines regelmäßigen Oktaeders entstanden ist, soll durch eine
weitere Schnittebene, welche durch eine der Grundkanten der
Pyramide verläuft, nochmals dem Rauminhalt nach halbiert
werden. Unter welchem Winkel schneidet diese Ebene die
Grundebene der Pyramide ?
Eigentlich ist dies nur ein Spezialfall der allgemeineren
Aufgabe, in welcher man eine gerade quadratische Pyramide
auf diese Weise halbieren soll, wenn man von dieser nur
den (beliebigen) Neigungswinkel der Seitenflächen kennt. |
Dies ist gedacht als Übungsaufgabe für alle, die ihre Fertigkeiten
in Vektorgeometrie, Trigonometrie und algebraischen Umformungen
an einem etwas aufwendigen Problem üben möchten, und natürlich
für alle, die einfach Spass am Lösen geometrischer Aufgaben haben.
Viel Spass !  Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 So 14.12.2014 | | Autor: | matux |
Dummy - hier nicht antworten, dient nur zum Offenhalten der Übungsaufgabe
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Bei einer Pyramide mit der Grundkante [mm]a[/mm] und Höhe [mm]h[/mm] habe ich für den Neigungswinkel [mm]\varphi[/mm] der halbierenden Ebene zur Grundfläche
[mm]\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( 2 \left( \sqrt{5} - 2 \right) \right)^2 t^2}} \ \ \text{mit} \ \ t = \frac{h}{a}[/mm]
Stimmt das?
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> Bei einer Pyramide mit der Grundkante [mm]a[/mm] und Höhe [mm]h[/mm] habe
> ich für den Neigungswinkel [mm]\varphi[/mm] der halbierenden Ebene
> zur Grundfläche
>
> [mm]\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( 2 \left( \sqrt{5} - 2 \right) \right)^2 t^2}} \ \ \text{mit} \ \ t = \frac{h}{a}[/mm]
>
> Stimmt das?
Hallo Leopold,
sorry dass ich erst jetzt antworte. Ich hab erst
mal wieder nachgeschaut, was sich so getan hat.
Deine Lösung stimmt, aber es geht einfacher:
[mm] $\tan(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] (\sqrt{5}-2)*\tan(\alpha)$
[/mm]
Ich habe gerade auch die Umformung von Deinem zu
meinem Ergebnis ausprobiert. Mittels [mm] $\tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{h}{a/2}$
[/mm]
und [mm] $\cos(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{1+\tan ^2(\varphi)}}$ [/mm] (für die in Frage kommenden
Winkel trifft diese Formel zu) ist dies eine kleine Übung.
Liebe Grüße zum Jahresende !
Al
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