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Quaderschnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mi 01.11.2017
Autor: Reynir

Hallo,
ich vollziehe gerade einen Beweis nach, der für zwei Quader I, J zeigt, dass [mm] $I\backslash [/mm] J$ als disjunkte Vereinigung von Quadern geschrieben werden kann (disjunkt meint hier disjunkt bis auf die Randpunkte, die drüfen also übereinstimmen).
Das wird über eine Induktion für den Fall $J [mm] \subset [/mm] I$ gemacht, ich hänge aber beim Induktionsschritt (es werden Intervalle betrachtet). Ich hänge die Stelle unten an. Konkret verstehe ich nicht, warum $J = [mm] \emptyset [/mm] $ gelten soll, wenn doch beispielweise [mm] $\left[c,c \right]$ [/mm] auch ein Quader ist. Oder bin ich nur verwirrt?
Viele Grüße
Reynir

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Quaderschnitt: Definition "Quader" ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Mi 01.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Im eindimensionalen Raum (also in [mm] \IR) [/mm] ist dies wohl
ziemlich trivial.
Bei höheren Dimensionen frage ich mich aber, wie da
der Begriff "Quader" überhaupt definiert sein soll.
Falls die nämlich nicht achsenparallele Kanten haben
sollen, sehe ich für einen einfachen Beweis eher schwarz.

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Quaderschnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Mi 01.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Bei den Verbreiteten Zugängen zum Lebesgue-Maß versteht man unter Quadern Produkte von Intervallen.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Quaderschnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 Do 02.11.2017
Autor: fred97

In Deinem Anhang findet man z.B.:

[mm] $I_1=\{x \in |\setminus J|x \le c\}$. [/mm]

ich bin schon lange im Mathematikgeschäft, aber das verstehe ich nicht. Erkläre es, dann können wir vielleicht helfen.

Bezug
                
Bezug
Quaderschnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:11 Do 02.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hallo fred,

die einzige Verwirrende Tatsache ist, dass das I aussieht wie ein | :-)

Demzufolge steht da:

> [mm]I_1=\{x \in I \setminus J|x \le c\}[/mm].

Und da $I$ und $J$ Quader im [mm] $\IR^1$ [/mm] und damit Intervalle sind, macht das schon Sinn… also zumindest in der Notation.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Quaderschnitt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:16 Do 02.11.2017
Autor: Reynir

Hallo,
danke für eure zahlreichen Antworten. Ich möchte versuchen meine Verwirrung zu begründen und meine Überlegungen darzustellen. Wir hatten eine Zeit lang über disjunkte achsenparallele Quader als kartesisches Produkt von Intervalen gesprochen, bevor die Professorin sagte, dass dies disjunkte Innere der Quader meine, also ohne Randpunkte. Daher hatte ich gestern $J= [mm] \left[ c,c\right]$, [/mm] weil ich irgendwie zu stark auf die Randpunkte fixiert war.
Jetzt habe ich mir Folgendes überlegt:
[mm] $I_1 \cap I_2 \neq \emptyset \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in I\backslash [/mm] J: c [mm] \ge [/mm] x [mm] \ge [/mm] d$, also c=d, weil J ein Intervall mit Radpunkten [mm] $c\le [/mm] d$ war. Es folgt, weil c die erste Ungleichung erfüllt: [mm] $c\in I\backslash [/mm] J$. Da c nach dem zuvor Gezeigten nicht in J ist folgt $J= [mm] \emptyset$. [/mm] Passt das so? Dass gilt [mm] $J\subset [/mm] I$ hielt ich aufgrund des nichtleeren Schnittes für klar.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
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