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Rechteck-Anwendungsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Do 16.10.2014
Autor: micha20000

Aufgabe
Zwei Seiten eines Rechtecks liegen auf den Koordinatenachsen, ein Eckpunkt auf der Parabel mit der Gleichung [mm] y=-0,25x^2 [/mm] +4.

a) Wie lang müssen die Seitenlängen des Rechtecks sein, damit sein Flächeninhalt maximal wird?

b) Wie lang müssen die Seitenlängen des Rechtecks sein, damit sein Umfang maximal wird?

Hallo,

wir sollen diese Aufgabe systematisch angehen:
1. Formel aufstellen, die extremal werden soll
2. Nebenbedingung (Zusammenhang zwischen den beiden Variablen beschreiben)
3. Zielfunktion bestimmen durch Einsetzen in die Ausgangsformel
4. Definitionsbereich festlegen
5. Lokale Extremstellen bestimmen

Ich verstehe das Ziel der Zielfunktion nicht, wieso braucht man diese? Und wieso/wie soll ich den Zusammenhang zwischen den Variablen beschreiben?

Mein Ansatz zu 1. ist: A=a*b

Und jetzt verstehe ich den Sinn der Nebenbedingung nicht... Was bringt mir dieses Verfahren?

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Rechteck-Anwendungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 Do 16.10.2014
Autor: fred97


> Zwei Seiten eines Rechtecks liegen auf den
> Koordinatenachsen, ein Eckpunkt auf der Parabel mit der
> Gleichung [mm]y=-0,25x^2[/mm] +4.
>  
> a) Wie lang müssen die Seitenlängen des Rechtecks sein,
> damit sein Flächeninhalt maximal wird?
>  
> b) Wie lang müssen die Seitenlängen des Rechtecks sein,
> damit sein Umfang maximal wird?
>  Hallo,
>  
> wir sollen diese Aufgabe systematisch angehen:
>  1. Formel aufstellen, die extremal werden soll
>  2. Nebenbedingung (Zusammenhang zwischen den beiden
> Variablen beschreiben)
>  3. Zielfunktion bestimmen durch Einsetzen in die
> Ausgangsformel
>  4. Definitionsbereich festlegen
>  5. Lokale Extremstellen bestimmen
>  
> Ich verstehe das Ziel der Zielfunktion nicht, wieso braucht
> man diese? Und wieso/wie soll ich den Zusammenhang zwischen
> den Variablen beschreiben?
>  
> Mein Ansatz zu 1. ist: A=a*b
>  
> Und jetzt verstehe ich den Sinn der Nebenbedingung nicht...
> Was bringt mir dieses Verfahren?
>  
> Vielen Dank im Voraus

Sei [mm] $f(x)=-0,25x^2 [/mm] $.

1. Zeige: der Graph von f schneidet die x-Achse in den Punkten (4|0) und (-4|0). Der Graph von f schneidet die y-Achse im Punkt (0|4).

2. Zeichne den Graph von f für -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4.

3. Im ersten Quadranten zeichne das Rechteck mit dem erwähnten Eckpunt P. Die auf der x-Achse liegende Seite des Rechtecks habe die Länge a und die andere Seite des Rechtecks (parallel zur y-Achse) habe die Länge b.

Der Flächeninhalt ist also $F(a,b)=a*b$

F soll maximiert werden !

4. Wie lautet nun die Nebenbedingung ? Wie lautet also der Zusammenhang zwischen b und a ? Drücke b durch a aus in der Form b=g(a).

Setze nun f(a):=F(a,g(a))

Zu maximieren ist f.

FRED


Bezug
        
Bezug
Rechteck-Anwendungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Do 16.10.2014
Autor: chrisno

Hallo,
von mir gibt eine schlichtere Version der Antwort.

> ...
> Ich verstehe das Ziel der Zielfunktion nicht, wieso braucht
> man diese?

Du schreibst selbst, dass Du die Fläche aus A = a*b berechnen willst. Das ist auch richtig.
Das Problem ist, dass Du wahrscheinlich Extremwerte suchst, indem Du f'(x) = 0 setzt. Nun musst Du das hinbekommen. Dein f(x) soll die Fläche sein, also f(x) = a*b. Nun weißt Du aber immer noch nicht, wie groß a und b sind. Nach der Skizze sollte klar sein, dass eines von beiden gerade x ist. Es ist auch klar, dass der Eckpunkt auf der Parabel liegen muss.

> Und wieso/wie soll ich den Zusammenhang zwischen
> den Variablen beschreiben?

Wenn x die eine Seitenlänge des Rechtecks ist, dann ist y die andere Seitenlänge, wobei Du das y mit Hilfe der Parabelfunktion berechnest.

>  
> Mein Ansatz zu 1. ist: A=a*b
>  
> Und jetzt verstehe ich den Sinn der Nebenbedingung nicht...

Du hast noch zwei Größen, von denen A abhängt. Das ist schlecht, weil Du nur nach einer Größe ableiten willst. Mit der Nebenbedingung kannst Du die eine Größe, ich habe sie y genannt, loswerden, indem Du sie durch einen Term mit x ersetzt. Dann ist A nur noch eine Funktion von x, die Du auf Extremwerte untersuchen kannst.

> Was bringt mir dieses Verfahren?

Du musst nicht mit einem genialen Blick direkt f(x) hinschreiben, sondern Du kannst in Ruhe die einzelnen Teile zusammensetzen.


Bezug
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