Reihe, Summe in Intervall < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 20.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2) konvergiert und dass ihre Summe s zum Intervall (3/4, 13/16) gehört. |
Hallo,
Konvergenz: [mm] |2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2)| [mm] \le |2^{-n}| [/mm] und [mm] \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^n [/mm] konvergente Majorante.
Mein Weg wäre über: [mm] e^{i x} [/mm] = cos(x)+isin(x)
[mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2) = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{Re(e^{i n \pi /2})}{2^n} =\sum_{n=0}^\infty Re(\frac{(e^{i \pi /2})^n}{2^n})=Re(\sum_{n=0}^\infty \frac{(e^{i \pi /2})^n}{2^n})
[/mm]
= [mm] Re(\frac{1}{1-\frac{e^{i\pi/2}}{2}})= Re[\frac{1}{1-\frac{cos(\pi/2)+i sin(\pi/2)}{2}}]=Re[\frac{1}{1-\frac{i}{2}}]=Re[\frac{2}{2-i}]= Re[\frac{4+2i}{5}]=4/5
[/mm]
4/5 [mm] \in [/mm] (3/4, 13/16) [mm] \Box
[/mm]
Frage: Gibt es einen anderen Lösungsweg der hier gewollt wird, da das mit dem Intervall angegeben ist? Ich müsste ja nicht unbedingt der Grenzwert finden, sondern nur dass er im Intervall liegt.
Würde gerne wissen auf welchen Lösungsweg der Aufgabensteller es hier abgesehen hat mit dem komischen Intervall!
LG,
sissi
EDIT: Intervall lautet (3/4, 13/16)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mo 20.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sissile!
Dein Beweis ist bis auf die letzte Zeile richtig. Ich kann die
Angabe des Intervalls nicht ansatzweise nachvollziehen, denn:
1. [mm] (\frac{3}{4},\frac{3}{16})=\emptyset. [/mm] (Daher der Fehler deiner letzten Zeile.  )
2. Auch mit [mm] (\frac{3}{16},\frac{3}{4})=:I [/mm] erhalten wir wegen [mm] $\frac{4}{5}\not\in [/mm] I$ einen Widerspruch zur Aufgabenstellung.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Di 21.04.2015 | | Autor: | sissile |
Sry, es soll heißen (3/4, 13/16).
Habe die 1 vergessen!!:O
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:21 Di 21.04.2015 | | Autor: | fred97 |
Das Intervall (3/4, 3/16) ist nicht komisch, denn es ist kein Intervall !
Anderer Lösungsweg: für ungerades n ist $cos(n* [mm] \bruch{\pi}{2})=0.$
[/mm]
Somit:
$ [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} [/mm] cos(n* [mm] \bruch{\pi}{2})= \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{2^{2k}}*cos(k [/mm] * [mm] \pi)= \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{4^{k}}*(-1)^k= \sum_{k=0}^\infty(- \bruch{1}{4})^k$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 21.04.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für den eleganten Lösungsweg! Ist wahrscheinlich auch nicht der, den der Aufgabensteller im Sinn hatte aber vielen lieben Dank.
Ich habe übrigens das Intervall nun geändert. Da hatte sich nämlich ein Tippfehler eingeschlichen.
LG,
sissi
|
|
|
|
