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Reihendarstellung einer Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 So 15.06.2014
Autor: alikho93

Aufgabe
Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des obigen Satzes.


Hallo,

für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur Stammfunktion von Potenzreihen.

[mm] g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm]

die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.

[mm] g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}} [/mm]

daraus folgt für die binomische Reihe :

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k} [/mm]

Wie muss ich weiter vorgehen wenn ich die Reihendarstellung von g'(x) habe?

        
Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 So 15.06.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des
> obigen Satzes.
>  
> Hallo,
>  
> für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der
> Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die
> Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur
> Stammfunktion von Potenzreihen.

Welcher Satz ist denn genau gegeben?

> [mm]g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
>  
> die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.
>  
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]

Richtig.

> daraus folgt für die binomische Reihe :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k}[/mm]

Das verstehe ich auf den ersten Blick nicht, aber die be-
rechnete Ableitung sollte dir doch etwas sagen. Es gilt:

      [mm] \int{g'(x)dx}=\sinh^{-1}(x)+C. [/mm]

Kommst du nun weiter?


Gruß
DieAcht

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Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Mo 16.06.2014
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des
> obigen Satzes.
>  
> Hallo,
>  
> für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der
> Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die
> Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur
> Stammfunktion von Potenzreihen.
>  
> [mm]g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
>  
> die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.
>  
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
>  
> daraus folgt für die binomische Reihe :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k}[/mm]
>  
> Wie muss ich weiter vorgehen wenn ich die Reihendarstellung
> von g'(x) habe?

Es ist

(*) [mm] g'(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k} [/mm]  für |x|<1.

Ihr hattet doch einen Satz, wie die Stammfunktion einer Potenzreihe aussieht. Nimm den und berechne mit (*) g(x)

FRED


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Reihendarstellung einer Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 16.06.2014
Autor: alikho93

Leider stehe ich total auf dem Schlauch.

In einer Übungsaufgabe die wird vor dieser Aufgabe gelöst haben hatten wir die funktion f(x)=arcsin(x) für [mm] x\in(-1,1) [/mm]

Nachdem wir die Reihendarstellung von f'(x) ermittelt hatten, hat der Übungsleiter folgendes gemacht :

[mm] arcsin(x)-arcsin(0)=\integral_{0}^{x}{(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt} [/mm]

deshalb dachte ich, dass eher so ein Schritt kommen würde ( den ich übrigens nicht nachvollziehen kann).

Bezug
                        
Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Leider stehe ich total auf dem Schlauch.
>  
> In einer Übungsaufgabe die wird vor dieser Aufgabe gelöst
> haben hatten wir die funktion f(x)=arcsin(x) für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>  
> Nachdem wir die Reihendarstellung von f'(x) ermittelt
> hatten, hat der Übungsleiter folgendes gemacht :
>
> [mm]arcsin(x)-arcsin(0)=\integral_{0}^{x}{(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt}[/mm]
>  
> deshalb dachte ich, dass eher so ein Schritt kommen würde
> ( den ich übrigens nicht nachvollziehen kann).

Ist f(t):=arcsin(t), so ist [mm] f'(t)=(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

Also: [mm] \integral_{0}^{x}{f'(t) dt}=f(x)-f(0) [/mm]

FRED


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Reihendarstellung einer Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:30 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Perfekt. Danke. Bin jetzt bei dem Ausdruck

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1} [/mm]

Ich muss jetzt den Konvergenzradius bestimmen.

[mm] a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} [/mm]

ich weiß, dass sie das für |x|<1 macht. Doch genügt es, wenn ich es genauso hinschreibe?

[mm] a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} [/mm] konvergiert für |x|<1?

Bezug
                                        
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Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Perfekt. Danke. Bin jetzt bei dem Ausdruck
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>  
> Ich muss jetzt den Konvergenzradius bestimmen.
>  
> [mm]a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}[/mm]

Nein, das sind nicht die [mm] a_k. [/mm]


>  
> ich weiß, dass sie das für |x|<1 macht.

Wer macht was ?

>  Doch genügt es,
> wenn ich es genauso hinschreibe?

Nein.


>  
> [mm]a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}[/mm] konvergiert für |x|<1?

Unfug !!!!



[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]

Wenn Du diese Potenzreihe in der Form

[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/mm]

schreibst, so gilt:

  [mm] a_{2k}=0 [/mm] für alle k

und

   [mm] a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{1}{2k+1} [/mm] für alle k

FRED




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Reihendarstellung einer Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Ich danke! :)

Bezug
                                                        
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Reihendarstellung einer Fkt.: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:42 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Konvergiert dann der Ausdruck gegen -1 ?

Bezug
                                                                
Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Di 17.06.2014
Autor: angela.h.b.


> Konvergiert dann der Ausdruck gegen -1 ?

Hallo,

vielleicht könntest Du mal für die, die nicht so helle oder hellsichtig sind, sagen, von welchem Ausdruck Du gerade sprichst.

Geht's um den Konvergenzradius? Der ist gewiß nicht =-1.

Also: was willst Du gerade weshalb wie berechnen?

LG Angela


Bezug
                                                                        
Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Di 17.06.2014
Autor: alikho93

Sorry. Ich habe für den Ausdruck

$ [mm] a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\cdot{}\bruch{1}{2k+1} [/mm] $


Die Quotientenregel benutzt und 1 ( und nicht -1, mein Fehler) raus.

Bezug
                                                                                
Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Di 17.06.2014
Autor: fred97


> Sorry. Ich habe für den Ausdruck
>  
> [mm]a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\cdot{}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
>  
>
> Die Quotientenregel benutzt und 1 ( und nicht -1, mein
> Fehler) raus.

Wenn Du richtig argumentiert hast, könnte das was werden. Zeig mal Deine Ergüsse.

FRED


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Bezug
Reihendarstellung einer Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Di 17.06.2014
Autor: Leopold_Gast

Der Konvergenzradius der Reihe für [mm]g'(x)[/mm] ist 1. Das ist aus dem Zusammenhang mit der binomischen Reihe bekannt (die Substitution von [mm]x[/mm] durch [mm]x^2[/mm] ändert daran nichts, denn [mm]x^2<1[/mm] für [mm]|x|<1[/mm] und [mm]x^2>1[/mm] für [mm]|x|>1[/mm]). Beim Differenzieren einer Reihe ändert sich aber der Konvergenzradius nicht. Was muß daher der Konvergenzradius der Reihe für [mm]g(x)[/mm] sein?

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