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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Satz Pythagoras, unendlich dim
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Satz Pythagoras, unendlich dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Mi 06.01.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Ich habe den Satz des Phytagoras nur mit endlichen Summen kennengelernt.
In der Vorlesung haben wir aber folgenden Satz aufgeschrieben:

Sei V ein Hilbertraum und [mm] \{f_j\}_{j=1}^\infty [/mm] ein Orthonormalsystem.
Dann gilt [mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2= \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 \forall [/mm] Folgen [mm] (c_j) [/mm] mit [mm] \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] < [mm] \infty [/mm]

Ich würde den Satz gerne beweisen!


Hallo,

[mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2=<\sum_{i=1}^\infty c_i f_i,\sum_{j=1}^\infty c_j f_j>=<\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n c_i f_i, \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^m c_j f_j>= \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m|c_i|^2 \underbrace{=}_{\*}\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n |c_i|^2 ||f_i||^2=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm]

Die dritte Gleichheit folgt aus der Stetigkeit des Skalarproduktes.
Nun bin ich mir unsicher beim vorletzten Schritt [mm] (\*), [/mm] ich verwende zwar wie im endlichen, dass die [mm] f_j [/mm] orthonormal zueinander sind, aber darf ich das  bei unendlichen Summen genauso machen oder muss ich da etwas beachten? Verwendet man da [mm] \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] < [mm] \infty? [/mm]

LG,
sissi

        
Bezug
Satz Pythagoras, unendlich dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:59 Do 07.01.2016
Autor: fred97


> Ich habe den Satz des Phytagoras nur mit endlichen Summen
> kennengelernt.
>  In der Vorlesung haben wir aber folgenden Satz
> aufgeschrieben:
>  
> Sei V ein Hilbertraum und [mm]\{f_j\}_{j=1}^\infty[/mm] ein
> Orthonormalsystem.
>  Dann gilt [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2= \sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 \forall[/mm]
> Folgen [mm](c_j)[/mm] mit [mm]\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>  
> Ich würde den Satz gerne beweisen!
>  Hallo,
>  
> [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j||^2=<\sum_{i=1}^\infty c_i f_i,\sum_{j=1}^\infty c_j f_j>=<\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n c_i f_i, \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{j=1}^m c_j f_j>= \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m\rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m|c_i|^2 \underbrace{=}_{\*}\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n |c_i|^2 ||f_i||^2=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm]
>
> Die dritte Gleichheit folgt aus der Stetigkeit des
> Skalarproduktes.
>  Nun bin ich mir unsicher beim vorletzten Schritt [mm](\*),[/mm] ich
> verwende zwar wie im endlichen, dass die [mm]f_j[/mm] orthonormal
> zueinander sind, aber darf ich das  bei unendlichen Summen
> genauso machen oder muss ich da etwas beachten? Verwendet
> man da [mm]\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm] < [mm]\infty?[/mm]
>  
> LG,
>  sissi


Zunächst sollte man zeigen, dass die Reihe

    [mm] \sum_{j=1}^\infty c_j f_j [/mm]

in V konvergiert. Dazu setze für n [mm] \in \IN: s_n:= \sum_{j=1}^n c_j f_j [/mm] und [mm] r_n:= \sum_{j=1}^n |c_j|^2. [/mm]

Jetzt zeige Du, dass für n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt:

   [mm] ||s_n-s_m||^2=|r_n-r_m|. [/mm]

Dazu verwende Pythagoras für endlichen Summen.

Nach Vor. ist [mm] (r_n) [/mm] konvergent, also eine Cauchyfolge. Damit ist [mm] (s_n) [/mm] eine Cauchyfolge in V. Da V ein Hilbertraum ist, ist [mm] (s_n) [/mm] in V konvergent. Somit konvergiert  [mm] \sum_{j=1}^\infty c_j f_j [/mm] in V.

Begründe nun Du jedes "=" in der Folgenden Zeile

[mm] $||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Satz Pythagoras, unendlich dim: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 So 10.01.2016
Autor: sissile

Hallo,
Vielen Dank für deine Antwort

> $ [mm] ||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2 [/mm] $

Erste Gleicheit ist Definition, Zweite Gleichheit ist die Stetigkeit des Skalarproduktes und dazu brauchen wir natürlich [mm] \sum_{j=1}^\infty c_j, f_j [/mm] ist konvergent in V.
Die dritte Gleichheit : [mm] ||s_n||^2 [/mm] = < [mm] \sum_{j=1}^n c_j f_j, \sum_{i=1}^n c_i f_i>= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |c_j|^2 [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n |c_j|^2= r_n [/mm]

Okay?

Danke und liebe Grüße,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Satz Pythagoras, unendlich dim: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 So 10.01.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  Vielen Dank für deine Antwort
>  > [mm]||\sum_{j=1}^\infty c_j f_j ||^2=||\limes_{n\rightarrow\infty}s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}||s_n||^2=\limes_{n\rightarrow\infty}r_n=\sum_{j=1}^\infty |c_j|^2[/mm]

>  
> Erste Gleicheit ist Definition, Zweite Gleichheit ist die
> Stetigkeit des Skalarproduktes und dazu brauchen wir
> natürlich [mm]\sum_{j=1}^\infty c_j, f_j[/mm] ist konvergent in V.
>  Die dritte Gleichheit : [mm]||s_n||^2[/mm] = < [mm]\sum_{j=1}^n c_j f_j, \sum_{i=1}^n c_i f_i>= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |c_j|^2 [/mm]
> = [mm]\sum_{j=1}^n |c_j|^2= r_n[/mm]
>  
> Okay?

Ja

Fred


>  
> Danke und liebe Grüße,
>  sissi


Bezug
                                
Bezug
Satz Pythagoras, unendlich dim: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 So 10.01.2016
Autor: sissile

danke ;)

LG,
sissi

Bezug
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