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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz über Umkehrabbildung
Satz über Umkehrabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz über Umkehrabbildung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:20 Mo 05.02.2018
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich verstehe eine Kleinigkeit beim Beweis des Satzes über die Umkehrabbildung nicht.

Satz: Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen und

f: U [mm] \to \IR^{n} [/mm]

eine stetig differenzierbare Abbildung. Sei a [mm] \in [/mm] U und b:= f(a). Die Jacobi-Matrix Df(a) sei invertierbar. Dann gibt es eine offene Umgebung [mm] U_{0} \subset [/mm] U von a und eine offene Umgebung [mm] V_{0} [/mm] von b, sodass f die Menge [mm] U_{0} [/mm] bijektiv auf [mm] V_{0} [/mm] abbildet und die Umkehrabbildung

g = [mm] f^{-1}: V_{0} \to U_{0} [/mm]

stetig diff.bar ist. Es gilt Dg(b) = [mm] (Df(a))^{-1}. [/mm]



Der Beweis erfolgt über den Satz über implizit definierte Funktionen. Dazu definiere man die Funktion

F: [mm] \IR^{n} [/mm] x U [mm] \to \IR^{n}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] F(x,y) := x - f(y).

Es gilt F(b,a) = 0. Da [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) [/mm] = -Df(y) und Df(a) invertierbar ist, kann der Satz angewendet werden. Es gibt also eine offene Umgebung V' von b, eine Umgebung U' [mm] \subset [/mm] U von a und eine stetig diff.bare Abbildung g: V' [mm] \to [/mm] U' mit folgenden Eigenschaften:

i) 0 = F(x,g(x)) = x - f(g(x)), d.h. f(g(x)) = x für alle x [mm] \in [/mm] V'

ii) Ist (x,y) [mm] \in [/mm] V' x U' mit F(x,y) = 0, d.h. x = f(y), so folgt y = g(x).


Aufgrund der Stetigkeit von f gibt es eine offene Umgebung [mm] U_{0} \subset [/mm] U' von a mit [mm] f(U_{0}) \subset [/mm] V'. Wegen ii) gilt:

[mm] V_{0} [/mm] := [mm] f(U_{0}) [/mm] = [mm] g^{-1}(U_{0}). [/mm]

Da g stetig ist, ist [mm] V_{0} [/mm] eine offene Umgebung von b. Nach Konstruktion ist f: [mm] U_{0} \to V_{0} [/mm] bijektiv mit der Umkehrung g, q.e.d.


Nun zu meinen 3 Fragen .

1) Gilt [mm] f(U_{0}) [/mm] = [mm] g^{-1}(U_{0}), [/mm] da in Eigenschaft ii) aus x = f(y) folgt, dass y = g(x) ist und folglich x = [mm] g^{-1}(y) [/mm] ist?

2) Welche zusätzliche Bedingung liefert Eigenschaft i), und wo wird diese verwendet?

3) Wieso ist f: [mm] U_{0} \to V_{0} [/mm] bijektiv? Was mir einleuchtet ist die Surjektivität wegen der passenden Auswahl des Definitions- und Wertebereiches anhand [mm] f(U_{0}) [/mm] := [mm] V_{0}. [/mm] Aber woran erkennt man eine zusätzliche Injektivität?



Wie immer wäre ich euch sehr dankbar wenn ihr mir zum Verständnis helfen könnt! :-)


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Satz über Umkehrabbildung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:20 Do 08.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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