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Satz von Min und Max: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Do 12.04.2018
Autor: Trikolon

Hallo,

ich habe die Funktion  f(x)= [mm] \bruch{4}{x^2+1} [/mm] mit [mm] D_f [/mm] = [mm] \IR [/mm] gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?
Die Funktion ist ja stetig und [mm] \IR [/mm] ist eine abgeschlossene Menge, aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein Minimum ein.
Wo ist mein Denkfehler?

        
Bezug
Satz von Min und Max: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 18:14 Do 12.04.2018
Autor: ChopSuey

Hallo,

> Hallo,
>  
> ich habe die Funktion  f(x)= [mm]\bruch{4}{x^2+1}[/mm] mit [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die
> Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?

Nur auf einem kompakten Intervall. Das ist hier nicht der Fall.

>  Die Funktion ist ja stetig und [mm]\IR[/mm] ist eine abgeschlossene
> Menge

[notok]

$ [mm] \IR$ [/mm] ist keine abgeschlossene Menge!

> aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein
> Minimum ein.
> Wo ist mein Denkfehler?

Mach dich mit den Definitionen von Kompaktheit, Abeschloßenheit und Offenheit vertraut.

LG,
ChopSuey


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Bezug
Satz von Min und Max: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 19:04 Do 12.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\IR[/mm] ist keine abgeschlossene Menge!

na und ob [mm] \IR [/mm] abgeschlossen ist!
Aber [mm] \IR [/mm] ist nicht kompakt, da nicht beschränkt.

Gruß,
Gono

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Bezug
Satz von Min und Max: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 20:21 Do 12.04.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Gono,

du hast Recht. Ich sollte mich wohl lieber selbst wieder mit der Definition von Abgeschloßenheit vertraut machen :-)

LG,
ChopSuey

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Bezug
Satz von Min und Max: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Fr 13.04.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe die Funktion  f(x)= [mm]\bruch{4}{x^2+1}[/mm] mit [mm]D_f[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> gegeben. Garantiert der Satz vom Min und Max jetzt die
> Existenz eines kleinsten und größten Funktionswerts?

Dieser Satz ist hier nicht anwendbar, denn [mm] D_f= \IR [/mm] ist nicht kompakt.


>  Die Funktion ist ja stetig und [mm]\IR[/mm] ist eine abgeschlossene
> Menge, aber wenn ich die Funktion plotte nimmt sie kein
> Minimum ein.
> Wo ist mein Denkfehler?

s.o.

Es ist f(x) [mm] \le [/mm] 4 für alle x [mm] \in D_f [/mm] und f(0)=4, also: [mm] \max \{f(x): x \in D_f\}=4. [/mm]

Weiter ist f(x)>0 für alle x [mm] \in D_f [/mm] und [mm] \lim_{x \to \pm \infty}f(x)=0. [/mm] Somit ist

[mm] \inf \{f(x): x \in D_f\}=0, [/mm] aber [mm] \min \{f(x): x \in D_f\} [/mm] existiert nicht.


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Satz von Min und Max: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 So 15.04.2018
Autor: Trikolon

Vielen Dank für die schnellen Antworten. Eine Frage hätte ich noch:

Kann eine Funktion auch mehrere globale Maximum- und Minimumstellen besitzen?
z.B. f(x)=sin(x). Handelt es sich stets um lokale oder auch um globale (und damit automatisch lokale) Extrema?

Bezug
                        
Bezug
Satz von Min und Max: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Mo 16.04.2018
Autor: fred97


> Vielen Dank für die schnellen Antworten. Eine Frage hätte
> ich noch:
>  
> Kann eine Funktion auch mehrere globale Maximum- und
> Minimumstellen besitzen?
>  z.B. f(x)=sin(x).

Ja, der Sinus ist ein Beispiel. jedes lokale Max. (Min.) ist auch ein globales Max. (Min.).

> Handelt es sich stets um lokale oder
> auch um globale (und damit automatisch lokale) Extrema?

1. jedes globale Extremum ist auch ein lokales.

2. f(x)= sin x hat an jeder lokalen Extremstelle auch ein globales Extremum

2. Betrachte die Funktion f(x)=x sin x und plotte mal den Graphen dieser Funktion. Dann solltest Du sehen: diese Funktion hat unendlich viele lokale Extremstellen, aber keine globalen Extremstellen.


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