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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Semidefinite Matrix
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Semidefinite Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:28 Mi 20.08.2014
Autor: Pepino1313

Aufgabe
Bestimme stationären Punkte und ob es sich dabei um Max/Min/Sattelpunkt handelt.
f(x)=  [mm] x_{1}^{4} [/mm] - [mm] 2x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2} [/mm]

Gradient:
[mm] \vektor{4x_{1}^{3}-4x_{1}+x_{2}^{2} \\ 2x_{1}x_{2}} [/mm] = 0

Hessematrix:

[mm] \pmat{ 12x_{1}^{2}-4 & 2x_{2} \\ 2x_{2} & 2x_{1} } [/mm]

Stationäre Punkte: (0,0) , (-1,0), (1,0)

Hessematrix von (0,0)

[mm] \pmat{ -4 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]

Hallo,

Ich habe eine Funktion in zwei Variablen deren stationären Punkte ich bestimmen soll.


Bei einem Punkt habe ich nun eine negativ semidefinite Hessematrix.
Meine Frage ist nun wie ich herausfinden kann, ob es sich bei diesem stationären Punkt um einen Sattelpunkt oder um ein Maximum handelt.

Viele Grüße

        
Bezug
Semidefinite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Mi 20.08.2014
Autor: petapahn

Hallo Pepino1313,

Bei semidefiniter Hessematrix benötigt es in der Regel eine genauere Betrachtung des zu untersuchenden kritischen Punktes.

Betrachte mal [mm] f(\epsilon,0) [/mm] und [mm] f(-\epsilon,0) [/mm] für besonders kleine [mm] \epsilon [/mm] (also nahe 0).

LG, petapahn

Bezug
                
Bezug
Semidefinite Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:08 Do 21.08.2014
Autor: fred97


> Hallo Pepino1313,
>  
> Bei semidefiniter Hessematrix benötigt es in der Regel
> eine genauere Betrachtung des zu untersuchenden kritischen
> Punktes.
>
> Betrachte mal [mm]f(\epsilon,0)[/mm] und [mm]f(-\epsilon,0)[/mm] für
> besonders kleine [mm]\epsilon[/mm] (also nahe 0).

Was soll das bringen ? Es ist

   [mm]f(\epsilon,0)[/mm]= [mm]f(-\epsilon,0)[/mm]

FRED

>
> LG, petapahn


Bezug
        
Bezug
Semidefinite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Do 21.08.2014
Autor: fred97

Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist

    $f(x,0)<f(0,0)$ ?

Für welche x>0 ist

   $f(x, [mm] \wurzel{2x})>f(0,0)$ [/mm] ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Semidefinite Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Fr 22.08.2014
Autor: Pepino1313

Hallo Fred,

Vielen Dank für deine Antwort.
Versteh ich das richtig, wir schauen jetzt ja trotzdem die Umgebung an?

Zur ersten Frage:  ich will also ein x finden, sodass ich einen Funktionswert erhalte, der kleiner ist als der am Nullpunkt?

Und bei der zweiten Frage einen, der größer ist?
Wir sagen jetzt, dass x>0 sein muss. Warum?
Und mit welchem Ziel wählst du [mm] \wurzel{2x_{1}} [/mm] aus? Damit erreichen wir, dass [mm] f(x)=x^{4} [/mm] ist...

Klar ist mir das ganze noch nicht, wie du wahrscheinlich merkst :) ALso warum machen wir was, um was zu erhalten. Das habe ich noch nicht verstanden.

LG Pepino

Bezug
                        
Bezug
Semidefinite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Fr 22.08.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Versteh ich das richtig, wir schauen jetzt ja trotzdem die
> Umgebung an?

???  Welche ?

>  
> Zur ersten Frage:  ich will also ein x finden, sodass ich
> einen Funktionswert erhalte, der kleiner ist als der am
> Nullpunkt?


Nein, Du brauchst mehr !

Es ist [mm] f(x,0)=x^4-2x^2=x^2(x^2-2). [/mm] Damit haben wir:

(1)    f(x,0)<0=f(0,0)   für alle x mit [mm] 0<|x|<\wurzel{2} [/mm]


>  
> Und bei der zweiten Frage einen, der größer ist?
>  Wir sagen jetzt, dass x>0 sein muss. Warum?
>  Und mit welchem Ziel wählst du [mm]\wurzel{2x_{1}}[/mm] aus? Damit
> erreichen wir, dass [mm]f(x)=x^{4}[/mm] ist...

Ja, es ist


(2)  [mm] $f(x,\wurzel{2x})=x^4 [/mm] >0 =f(0,0) $ für alle x>0.

>
> Klar ist mir das ganze noch nicht, wie du wahrscheinlich
> merkst :) ALso warum machen wir was, um was zu erhalten.
> Das habe ich noch nicht verstanden.

Aus (1) und (2) folgt:

In jeder Umgebung um (0,0) nimmt f sowohl positive als auch negative Funktionswerte an. Da f(0,0)=0 ist, kann f in (0,0) kein lokales Extremum haben.

FRED

>  
> LG Pepino


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