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Sigmaalgebraeigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Sa 28.10.2017
Autor: Reynir

Hallo,
wenn ich die Sigma-Algebra der [mm] $\nu$-messbaren [/mm] Funktionen [mm] ($\nu$ [/mm] ist äußeres Maß) betrachtete und zeigen will, dass für abzählbare Vereinigungen [mm] $\cup_n B_n$ [/mm] von messabaren Mengen [mm] $B_n$ [/mm] gilt, dass sie ebenfalls messbar sind, so hänge ich in einem ertsen Schritt an der folgenden Stelle.
Wieso gilt für [mm] $(B_n)_n$, [/mm] die selbst alle messabr sind, dass dies auch für [mm] $A_i= B_i\backslash \cup_{j=1} [/mm] ^{i-1} [mm] B_j$ [/mm] gilt, das will mir nicht einleuchten.
Viele Grüße
Reynir

        
Bezug
Sigmaalgebraeigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Reynir!


Wegen [mm] $A_i=B_i\cap \bigcap_{j=1}^{i-1}B_j^c$ [/mm] genügt es zu zeigen, dass der Schnitt von je zwei (und damit induktiv endlich vielen) [mm] $\nu$-messbaren [/mm] Mengen wieder [mm] $\nu$-messbar [/mm] ist.

Wurde das schon gezeigt oder soll ich einen Beweis notieren, dass der Schnitt zweier [mm] $\nu$-messbarer [/mm] Mengen stets wieder [mm] $\nu$-messbar [/mm] ist?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Sigmaalgebraeigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 So 29.10.2017
Autor: Reynir

Hallo!
Ja, es wäre nett, wenn du mir das erklären würdest bzw. mir Tipps gibst um es zu beweisen.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
                        
Bezug
Sigmaalgebraeigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 So 29.10.2017
Autor: tobit09

Seien A und B [mm] $\nu$-messbare [/mm] Mengen.
Wir wollen die [mm] $\nu$-Messbarkeit [/mm] von [mm] $A\cap [/mm] B$ zeigen.

Sei dazu [mm] $E\subseteq [/mm] M$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $\nu(E\cap(A\cap B))+\nu(E\cap(A\cap B)^c)\le \nu(E)$. [/mm]

Wegen

      [mm] $(A\cap B)^c=(A\cap B^c)\cup (A^c\cap B)\cup(A^c\cap B^c)$ [/mm]

und damit auch

      [mm] $E\cap(A\cap B)^c=\left(E\cap(A\cap B^c)\right)\cup \left(E\cap(A^c\cap B)\right)\cup \left(E\cap(A^c\cap B^c)\right)$ [/mm]

liefert die Subadditivität von [mm] $\nu$: [/mm]

     [mm] $\blue{\nu(E\cap(A\cap B)^c)}\le \nu(E\cap(A\cap B^c))+\nu(E\cap(A^c\cap B))+\nu(E\cap(A^c\cap B^c))$. [/mm]

Damit erhalten wir unter Ausnutzung der [mm] $\nu$-Messbarkeiten [/mm] von A und B wie gewünscht:

[mm] $\nu(E\cap(A\cap B))+\blue{\nu(E\cap(A\cap B)^c)}$ [/mm]

[mm] $\le \nu(E\cap(A\cap B))+\nu(E\cap(A\cap B^c))+\nu(E\cap(A^c\cap B))+\nu(E\cap(A^c\cap B^c))$ [/mm]

[mm] $=\left(\nu((E\cap A)\cap B)+\nu((E\cap A)\cap B^c)\right)+\left(\nu((E\cap A^c)\cap B)+\nu((E\cap A^c)\cap B^c)\right)$ [/mm]

[mm] $\le\nu(E\cap A)+\nu(E\cap A^c)$ [/mm]

[mm] $\le\nu(E)$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Sigmaalgebraeigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:04 Mi 01.11.2017
Autor: Reynir

Hallo!
Vielen Dank für deine schnelle Antwort und sorry für meine späte. ;)
Ich werde es nachvollziehen und mich im Falle von Fragen melden.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
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