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Sinussatz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Fr 06.05.2016
Autor: Mia90

Aufgabe
a)Konstruiere ein Dreieck mit a=4cm , c=5cm und [mm] \alpha [/mm] = 45°. Begründe warum du in diesem Falle zwei verschiedene Lösungen erhälst.
b)Berechne den Winkel [mm] \gamma [/mm] mit dem Sinussatz. Kommst du damit auch zu zwei verschiedenen Lösungen?Begründe.
c)Warum liefert Konstruktion und Berechnung für [mm] \alpha [/mm] =45°, a=5cm und c=4cm jeweils eine eindeutige Lösung?

Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

zua) Wenn man versucht das Dreieck mit Geodreieck und Zirkel zu zeichnen, dann ist es ja eigentlich offensichtlich, dass man zwei verschiedene Lösungen erhält, da der Kreis mit Mittelpunkt B und dem Radius 4cm die Seite b an zwei Stellen schneidet. Aber ist dies auch die korrekte Antwort auf die Frage oder kann ich das noch irgendwie besser begründen?

zu b) Ich weiß nicht, wie ich mit dem Sinussatz zu zwei verschiedenen Lösungen komme. Ich würde das so rechnen:
[mm] sin\gamma [/mm] = [mm] \bruch{5}{4} [/mm] * sin 45°
Und daraus folgt dann:
[mm] \gamma=sin^{-1} [/mm] (sin(45)* [mm] \bruch{5}{4})\approx [/mm] 62,11°
Ich habe also nur die eine Lösung erhalten. Kann ich rechnerisch auch auf die andere Lösung kommen?

zuc) Und wieso kommt man hier rechnerisch nur auf eine Lösung?

Viele Grüße
Mia

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Sinussatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Fr 06.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> a)Konstruiere ein Dreieck mit a=4cm , c=5cm und [mm]\alpha[/mm] =
> 45°. Begründe warum du in diesem Falle zwei verschiedene
> Lösungen erhälst.
> b)Berechne den Winkel [mm]\gamma[/mm] mit dem Sinussatz. Kommst du
> damit auch zu zwei verschiedenen Lösungen?Begründe.
> c)Warum liefert Konstruktion und Berechnung für [mm]\alpha[/mm]
> =45°, a=5cm und c=4cm jeweils eine eindeutige Lösung?
> Hallo,
> kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe
> weiterhelfen?

>

> zua) Wenn man versucht das Dreieck mit Geodreieck und
> Zirkel zu zeichnen, dann ist es ja eigentlich
> offensichtlich, dass man zwei verschiedene Lösungen
> erhält, da der Kreis mit Mittelpunkt B und dem Radius 4cm
> die Seite b an zwei Stellen schneidet. Aber ist dies auch
> die korrekte Antwort auf die Frage oder kann ich das noch
> irgendwie besser begründen?

Das ist genau der Punkt. Hier liegt der gegebene Winkel nicht der längsten gegebenen Seite gegenüber. Das ist dann der (nicht eindeutige) []Kongruenzsatz [mm] SSW_{g} [/mm]

>

> zu b) Ich weiß nicht, wie ich mit dem Sinussatz zu zwei
> verschiedenen Lösungen komme. Ich würde das so rechnen:
> [mm]sin\gamma[/mm] = [mm]\bruch{5}{4}[/mm] * sin 45°
> Und daraus folgt dann:
> [mm]\gamma=sin^{-1}[/mm] (sin(45)* [mm]\bruch{5}{4})\approx[/mm] 62,11°
> Ich habe also nur die eine Lösung erhalten. Kann ich
> rechnerisch auch auf die andere Lösung kommen?

Ja, wenn du ausnutzt, dass für jeden Winkel [mm] \delta [/mm] die Gleichung [mm] \sin(\delta)=\sin(180-\delta) [/mm] gilt, was du dir am Einheitskreis ganz schnell herleiten kannst.

>

> zuc) Und wieso kommt man hier rechnerisch nur auf eine
> Lösung?

Überlege das mal selber, anhand der obigen Gleichung und der Tatsache, dass in einem Dreieck die länge Seite dem größten Winkel, die mittlere Seite dem mittleren Winkel und die kleinste Seite dem kleinsten Winkel gegenüberliegen muss.

>

> Viele Grüße
> Mia

Marius

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