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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit
Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit: Heuser, Analysis2, 113.3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Sa 05.03.2016
Autor: sandroid

Aufgabe
Die Funktion [mm] $f(x,y):=\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}$ [/mm] für [mm] $(x,y)\neq(0,0)$, [/mm] $f(0,0):=0$ ist in (0,0) stetig.

Hallo,

ich habe die folgende Lösung angefertigt, mit der Bitte, dass sie jemand kontrollieren möge. Ich fühlte mich nämlich noch nicht so sicher damit.

Zeige Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium:

Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig. Wähle [mm] $\delta [/mm] := [mm] \epsilon$. [/mm] Sei $(x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] beliebig mit [mm] $\parallel [/mm] (x,y) - (0,0) [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta$. [/mm] Ich kann hier die Maximumsnorm verwenden, da auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] alle Normen äquivalent sind. Dann wird also vorausgesetzt $|x| < [mm] \delta$ [/mm] und $|y| < [mm] \delta$. [/mm] Es gilt:

$|f(x,y)| = [mm] |\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}| [/mm] = [mm] \bruch{|x|*|y|^2}{|x^2 + y^2|} \leq \bruch{|x|*|y|^2}{|y|^2}=|x|<\delta=\epsilon$. [/mm]

Da [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig war, folgt daraus die Stetigkeit. [mm] $\whitebox$ [/mm]

Nun noch eine Frage, kann ich alternativ die Stetigkeit auch über die Definition zeigen? Ich komme dann auf den folgenden Grenzwert, bei dem ich nicht weiter kome.

[mm] $\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n * y_n^2}{x_n^2 + y_n^2}$ [/mm] wobei die beliebigen Folgen [mm] $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to [/mm] 0$ konvergieren.

Vielen Dank fürs korrigieren und ggf. für eine Anregung.

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Sa 05.03.2016
Autor: reverend

Hallo sandroid,

das sieht alles gut aus. Kleiner Tipp zur Folgenstetigkeit steht unten.

> Die Funktion [mm]f(x,y):=\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}[/mm] für
> [mm](x,y)\neq(0,0)[/mm], [mm]f(0,0):=0[/mm] ist in (0,0) stetig.
>  Hallo,
>  
> ich habe die folgende Lösung angefertigt, mit der Bitte,
> dass sie jemand kontrollieren möge. Ich fühlte mich
> nämlich noch nicht so sicher damit.
>
> Zeige Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium:
>  
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig. Wähle [mm]\delta := \epsilon[/mm]. Sei
> [mm](x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm] beliebig mit [mm]\parallel (x,y) - (0,0) \parallel < \delta[/mm].
> Ich kann hier die Maximumsnorm verwenden, da auf
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] alle Normen äquivalent sind. Dann wird also
> vorausgesetzt [mm]|x| < \delta[/mm] und [mm]|y| < \delta[/mm]. Es gilt:
>  
> [mm]|f(x,y)| = |\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}| = \bruch{|x|*|y|^2}{|x^2 + y^2|} \leq \bruch{|x|*|y|^2}{|y|^2}=|x|<\delta=\epsilon[/mm].
>  
> Da [mm]\epsilon[/mm] beliebig war, folgt daraus die Stetigkeit.

Ja, alles richtig.

> Nun noch eine Frage, kann ich alternativ die Stetigkeit
> auch über die Definition zeigen? Ich komme dann auf den
> folgenden Grenzwert, bei dem ich nicht weiter kome.
>  
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n * y_n^2}{x_n^2 + y_n^2}[/mm]
> wobei die beliebigen Folgen [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0[/mm]
> konvergieren.
>  
> Vielen Dank fürs korrigieren und ggf. für eine Anregung.

Ein kleiner Umweg, mit dem der Grenzwert m.E. leichter "zu sehen" ist:
Sei [mm] r_n=\wurzel{x_n^2+y_n^2} [/mm]

Dann ist [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n * y_n^2}{x_n^2 + y_n^2}=\lim_{n\to\infty}\br{x_n*(r_n^2-x_n^2)}{r_n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(x_n-x_n\br{x_n^2}{r_n^2}\right)=\cdots[/mm]

Zu beachten sind a) [mm] |x_n|\le|r_n| [/mm] und b) die Grenzwertsätze. Lässt sich der letztgenannte Grenzwert aufspalten oder nicht?

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:55 Sa 05.03.2016
Autor: sandroid


Vielen Dank, der Tipp mit dem Grenzwert hat mir geholfen.

Ich denke doch, dass man den aufspalten kann, und dann $0-0=0$ heraus kommt.

Bezug
        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Sa 05.03.2016
Autor: fred97


> Die Funktion [mm]f(x,y):=\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}[/mm] für
> [mm](x,y)\neq(0,0)[/mm], [mm]f(0,0):=0[/mm] ist in (0,0) stetig.
>  Hallo,
>  
> ich habe die folgende Lösung angefertigt, mit der Bitte,
> dass sie jemand kontrollieren möge. Ich fühlte mich
> nämlich noch nicht so sicher damit.
>
> Zeige Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium:
>  
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig. Wähle [mm]\delta := \epsilon[/mm]. Sei
> [mm](x,y) \in \mathbb{R}^2[/mm] beliebig mit [mm]\parallel (x,y) - (0,0) \parallel < \delta[/mm].
> Ich kann hier die Maximumsnorm verwenden, da auf
> [mm]\mathbb{R}^2[/mm] alle Normen äquivalent sind. Dann wird also
> vorausgesetzt [mm]|x| < \delta[/mm] und [mm]|y| < \delta[/mm]. Es gilt:
>  
> [mm]|f(x,y)| = |\bruch{xy^2}{x^2 + y^2}| = \bruch{|x|*|y|^2}{|x^2 + y^2|} \leq \bruch{|x|*|y|^2}{|y|^2}=|x|<\delta=\epsilon[/mm].
>  
> Da [mm]\epsilon[/mm] beliebig war, folgt daraus die Stetigkeit.
> [mm]\whitebox[/mm]
>  
> Nun noch eine Frage, kann ich alternativ die Stetigkeit
> auch über die Definition zeigen? Ich komme dann auf den
> folgenden Grenzwert, bei dem ich nicht weiter kome.
>  
> [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{x_n * y_n^2}{x_n^2 + y_n^2}[/mm]
> wobei die beliebigen Folgen [mm]x_n \to 0[/mm] und [mm]y_n \to 0[/mm]
> konvergieren.
>  
> Vielen Dank fürs korrigieren und ggf. für eine Anregung.

Meine Anregung lautet: Polarkoordinaten.

Mit $x=r [mm] cos(\phi) [/mm] , y=r [mm] sin(\phi)$ [/mm] ergibt sich

  $ |f(x,y)-f(0,0)|=|r [mm] cos(\phi) sin^2(\phi)| \le r=\wurzel{x^2+y^2}=||(x,y)||_2$ [/mm]


FRED


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