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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Störungssatz für DGL 1. Ordnun
Störungssatz für DGL 1. Ordnun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:36 Fr 27.03.2015
Autor: jasmin12

Aufgabe
Es sei y:[0,1] [mm] \IR [/mm] eine differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft
y' = -ycos(y) und y(0)=1 .

Beweisen Sie, dass

-1 [mm] \le [/mm] y(1) [mm] \le [/mm] 3

gilt, indem Sie eine geeignete Näherung für die Differentialgleichung finden.


Meine Fragen sind nun 1)wie bekomme ich eine Näherung?
                      2)Da hier Störungssatz angewendet werden soll, wie finde ich ein Maximum und wie gehe ich dann weiter vor ?

1) also ich habe mir erst überlegt mit Taylorpolynom anzunähern, da kam aber was so verrücktes , das ich eher dachte ich schätze cos(y) durch 1 ab , sodass meine gestörte funktion dann lautet
x'(t)= -x und die gestörte Lösung ist dann nach Anwenden des Satzes über Lösungen homogener linearer DGLs x(t)=e^-t

Lipschitzkonstante ist L=1
2) ich weiss ch benötige ||y(t)-x(t)|| [mm] \le M/L*(e^L(t-t0) [/mm] -1)

mit M = max(für [mm] a\in[t0=0,t=1]) [/mm] ||fy(a,x(a) -fx(a,x(a)||

nur weiss ich nicht wie ich das nun anwenden soll, ich brauche unbedingt Hilfe und bin für jede dankbar ! :-)
Ich habe diese in einem anderen Foum gestellt.

        
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Sa 28.03.2015
Autor: jasmin12

keiner der mir helfen kann? finde nichts dazu im Internet :/

Bezug
        
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 29.03.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Mo 30.03.2015
Autor: jasmin12

Falls es doch wer weiß, wie man da rangehen kann bin ich sehr dankbar , habe bei M nun abgeschätz 2 raus und dann kommt  
||y(t)-x(t)||  < 3 aber wie bekomme ich das es > -1 ist?

Bezug
                        
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mo 30.03.2015
Autor: leduart

Hallo
ich verstehe nicht, warum man eine Näherung nehmen soll, da ja y=e^(-sin(x)) die Dgl mit den Anfangsbed. erfüllt und man y(1) direkt ausrechnen kann.
statt cos die Taylorentwicklung etwa [mm] 1-x^2/2 [/mm] einsetzen + Fehler bringt nicht mehr, y>0 für alle x kpmmt immer raus.
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mo 30.03.2015
Autor: jasmin12

In der Aufgabe steht man soll eine Näherung verwenden, diese dient dann als gestörte definierende Abb. mit gestörter Lsg. laut Störungssatz, wie löst man den die DGL -y*cos(y) ?  mit getrennten Veränderlichen bekomme ich dann
t+c = -ysin(y) -cos(y)
da bekommt man aber doch keine Lösung , deswegen soll man das doch mit dem Störungssatz zeigen wo die Lösungen der  DGL liegen also in welchem bereich.

Bezug
                                        
Bezug
Störungssatz für DGL 1. Ordnun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Mo 30.03.2015
Autor: leduart

Hallo
Entschuldige ich hatte de Dgl falsch gelesen mit  cos(x) statt cos(y)

wegen [mm] -1\le [/mm] cos (y) le 1 kann die Funkion maximal wie y*=y steigen also wie [mm] y=e^x [/mm] und [mm] e^1<3 [/mm]
in wirklichkeit gällt die Funktion bei x=0 kann also nur Werte < 1 erreichen.
aber wegen y'(ß)=-1 fällt die fkt mit steigendem x, d,h, cos(y) wird kleiner  ,y bleibt  positiv, d.h die Lösungskurve fällt sicher bis x=1 ist also <1 und nicht nur <3
nach links steigt die Kurve an, kann aber den Wert [mm] y=\pi/2 [/mm] nicht übersteigen , weil da wieder y'=0
ohne Näherung sieht man, dass die Funktion,  wenn [mm] y(x_1)=0 [/mm] sie konstant 0ist , d.h. wenn sie mit dem Wert  y(0)=1 anfängt kann sie nie <0 werden   also auch nicht <-1
Gruss ledum


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