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Forum "Logik" - Struktureller Induktionsbeweis
Struktureller Induktionsbeweis < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Struktureller Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:18 Mi 04.05.2016
Autor: newbie1234

Aufgabe
Zeigen Sie durch Induktion, dass 2^|t| eine obere Schranke für die größte Zahl ist, die durch einen variablenfreien Term t über N dargestellt werden kann (|t| bezeichnet die Länge von t).
Hinweis: Machen Sie den Induktionsanfang und die Induktionsannahme explizit.


Ich weiß wie ein Struktureller Induktionsbeweis prinzipell funktioniert. Nur hier kann ich keinen Induktionsanfang finden. Soweit ich es verstehe geht es hier um die länge desTerms also 2 würde bei unserer defintion als +(1,1) dargestellt das heißt der term is 6 zeichen lang also is |t| = 6 somit ist 6 < [mm] 2^6.. [/mm] was in dem fall zu einer wahren aussage führt... weiter weiß ich nicht...

        
Bezug
Struktureller Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Do 05.05.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

> Zeigen Sie durch Induktion, dass 2^|t| eine obere Schranke
> für die größte Zahl ist, die durch einen variablenfreien
> Term t über N dargestellt werden kann (|t| bezeichnet die
> Länge von t).
>  Hinweis: Machen Sie den Induktionsanfang und die
> Induktionsannahme explizit.
>  
> Ich weiß wie ein Struktureller Induktionsbeweis prinzipell
> funktioniert. Nur hier kann ich keinen Induktionsanfang
> finden.

Das verstehe ich nicht ganz, denn Deine nachfolgenden Überlegungen stellen doch einen Induktionsanfang dar. Worin besteht also wirklich das Problem?

> Soweit ich es verstehe geht es hier um die länge
> desTerms also 2 würde bei unserer defintion als +(1,1)
> dargestellt das heißt der term is 6 zeichen lang also is
> |t| = 6 somit ist 6 < [mm]2^6..[/mm] was in dem fall zu einer wahren
> aussage führt... weiter weiß ich nicht...

Achtung: es wird nicht [mm] $|t|<2^{|t|}$ [/mm] behauptet.

Mein Tip: Induktion nach der Länge $|t|$ des Terms $t$.

1. Induktionsanfang: Man muss zeigen, dass wenn $t$ ein (variablenfreier) Term der Länge $1$ ist - denn einen solchen gibt es - dass dann die dargestellte Zahl [mm] $<2^{1}= [/mm] 2$ ist.

Versuche dies!

2. Induktionsvoraussetzung: Sei $t$ ein variablenfreier Term der Länge $n:= |t|>1$. Man nehme an, dass die Behauptung für jeden variablefreien Term $s$ mit $|s|<n$ gültig ist: d.h. die durch $s$ dargestellte Zahl ist [mm] $<2^{|s|}$. [/mm]

3. Induktionsschritt: Zeige, dass auch die durch $t$ dargestellte Zahl $<2^ {n}$ ist.

Dazu überlege Dir, dass es Terme $s,r$ geben muss, sodass $t=+(s,r)$ gilt. Wende auf $s,r$ die Induktionsvoraussetzung an und begründe auch, weshalb dies überhaupt zulässig ist.

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