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Forum "Integralrechnung" - Substitution
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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 So 05.01.2014
Autor: Kitzng

Aufgabe
Berechnen Sie das Integral mithilfe der Substitutionsregel.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx} [/mm]

Guten Abend!
Ich sitze gerade an meiner letzten Aufgabe und komme irgendwie nicht auf's richtige Ergebnis... Könnte jemand die einmal nachgucken? :-)


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx} [/mm]

[mm] u=x^2-1 [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=2x [/mm] <=> [mm] dx=\bruch{du}{2x} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2}*2\wurzel{u} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2}*2\wurzel{x^2-1} [/mm]

Vielen Dank und viele Grüße!
Kitzng


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 So 05.01.2014
Autor: abakus


> Berechnen Sie das Integral mithilfe der
> Substitutionsregel.
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx}[/mm]
> Guten
> Abend!
> Ich sitze gerade an meiner letzten Aufgabe und komme
> irgendwie nicht auf's richtige Ergebnis... Könnte jemand
> die einmal nachgucken? :-)

>
>

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx}[/mm]

>

> [mm]u=x^2-1[/mm]

>

> [mm]\bruch{du}{dx}=2x[/mm] <=> [mm]dx=\bruch{du}{2x}[/mm]

>

> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}}[/mm]

>

> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}[/mm]

Hallo,
hier wird es falsch. Im Nenner standen doch eine Zeile vorher noch ZWEI Faktoren x.
Aus [mm]u=x^2-1[/mm] [mm] folgt $x^2=u+1$. [/mm]
Damit gilt
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{x^2}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{(u+1)}}[/mm]
Gruß Abakus
>

> = [mm]\bruch{1}{2}*2\wurzel{u}[/mm]

>

> = [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D*2%5Cwurzel%7Bx%5E2-1%7D[/mm]

>

> Vielen Dank und viele Grüße!
> Kitzng

>
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 So 05.01.2014
Autor: Kitzng

Hallo abakus!
Vielen Dank für deine Antwort! Direkt zur Lösung habe ich allerdings eine kleine Frage:
Ich prüfe meine Ergebnisse immer mit dem Online-Integralrechner, der äußerst zuverlässig arbeitet, und der bekam [mm] -arcsin(\bruch{1}{|x|}) [/mm] raus ([]Link).

Wenn man dein Ergebnis umstellt, kommt man doch auf [mm] x^2*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}, [/mm] oder? Die beiden Ergebnisse habe ich graphisch verglichen: die Graphen sind unterschiedlich.

Jetzt einmal zur Frage: welche Lösung ist jetzt richtig?

Viele Grüße
Kitzng

Bezug
                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 So 05.01.2014
Autor: MathePower

Hallo Kitzng,

> Hallo abakus!
>  Vielen Dank für deine Antwort! Direkt zur Lösung habe
> ich allerdings eine kleine Frage:
>  Ich prüfe meine Ergebnisse immer mit dem
> Online-Integralrechner, der äußerst zuverlässig
> arbeitet, und der bekam [mm]-arcsin(\bruch{1}{|x|})[/mm] raus
> ([]Link).
>  
> Wenn man dein Ergebnis umstellt, kommt man doch auf
> [mm]x^2*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}},[/mm] oder? Die beiden


Das kann ich nicht nachvollziehen.


> Ergebnisse habe ich graphisch verglichen: die Graphen sind
> unterschiedlich.
>  
> Jetzt einmal zur Frage: welche Lösung ist jetzt richtig?

>


Die Lösung vom Link.

  

> Viele Grüße
>  Kitzng


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 05.01.2014
Autor: Kitzng

Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von abakus?

Bezug
                                        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 So 05.01.2014
Autor: MathePower

Hallo Kitzng,

> Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von
> abakus?


Deine Umstellung ist falsch.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 So 05.01.2014
Autor: abakus


> Hallo Kitzng,

>

> > Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von
> > abakus?

>
>

> Deine Umstellung ist falsch.

Hallo Kitzng,
bei deinem ersten Versuch hast du die beiden x im Nenner einfach weggelassen. Diesmal holst du das Produkt x*x (also [mm] $x^2$) [/mm] so mir nichts, dir nichts aus dem Nenner als Faktor vor den Bruch (im Prinzip verschiebst du damit einem Faktor aus dem Nenner in den Zähler). 
Gruß Abakus
>
>

> Gruss
> MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 So 05.01.2014
Autor: Kitzng

Aber wie soll denn dann (u+1) von du lösen?

Bezug
                                                                
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 So 05.01.2014
Autor: abakus


> Aber wie soll denn dann (u+1) von du lösen?

Es gilt
[mm]\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{(u+1)}=\bruch{1}{2\wurzel{u}(u+1)} du[/mm].
Das bringt dich aber für das Integrieren nicht weiter. Entweder du beginnst die Aufgabe komplett neu mit einer anderen Substitution, oder du führst diese Aufgabe mit einer erneuten Substitution weiter.
Gruß Abakus

Bezug
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 So 05.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Berechnen Sie das Integral mithilfe der Substitutionsregel.
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx}[/mm]

Setze [mm] u:=\sqrt{x^2-1}, [/mm] dann gilt:

      [mm] \frac{du}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \Rightarrow dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}du [/mm]

Außerdem gilt:

      [mm] u=\sqrt{x^2-1}\Rightarrow u^2=x^2-1\Rightarrow x^2=1+u^2 [/mm]

Damit folgt:

      [mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx}=\integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}du}=\integral_{}^{}{\frac{1}{x^2}du}=\integral_{}^{}{\frac{1}{1+u^2}du}=\tan^{-1}u+C [/mm]

Jetzt du!


DieAcht

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