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Forum "Integralrechnung" - Substitutionsmethode
Substitutionsmethode < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Substitutionsmethode: Leistungsnachweis
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:13 Fr 07.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe 1
[mm] \integral {x/\wurzel(1-x) dx} [/mm] (0<x<1)

Berechnen sie das unbestimmte Integral. Wenden sie dabei die Variante der Substitutionsmethode an, bei der die Integrationsvariable x durch einen quadratischen Term ersetzt wird, dass die Wurzel wegfällt. Erkläre den Lösungsweg schritt für schritt.

Aufgabe 2
Bestimmen sie das bestimmte Integral mittels Substitution auf zwei Arten.

a) [mm] \integral_{0}^{3}{1/(1+x)^2 dx} [/mm]

b) [mm] \integral_{-1}^{2}{x/\wurzel(x+2) dx} [/mm]

Hallo liebe Community,

Ich benötige diese Aufgaben für meinen Leistungsnachweis in Mathe, jedoch bin ich am Verzweifeln. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Ich bedanke mich jetzt schon mal für eure Hilfe.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Fr 07.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\integral {x/\wurzel(1-x) dx}[/mm] (0<x<1)
>  
> Berechnen sie das unbestimmte Integral. Wenden sie dabei
> die Variante der Substitutionsmethode an, bei der die
> Integrationsvariable x durch einen quadratischen Term
> ersetzt wird, dass die Wurzel wegfällt.


Hallo  nils-97

        [willkommenmr]

der Hinweis ist vermutlich so zu verstehen, dass man
eine Hilfsvariable anstelle des vorkommenden Wurzel-
terms benützen soll, also etwa:

      $\ u:=\ [mm] \sqrt{1-x}$ [/mm]

Daraus ergibt sich  $\ [mm] u^2\ [/mm] =\ [mm] 1\,-\,x$ [/mm]  bzw.  $\ x\ =\ [mm] 1\,-\,u^2$ [/mm]

Damit haben wir den quadratischen Term, durch den
x ersetzt werden soll.

Bei Aufgabe 2a würde ich mal die Substitution  u:=1+x
vorschlagen.

2b ist analog zu Aufgabe 1 zu lösen.

Mit dem "Lösen auf 2 Arten" in Aufgabe 2 ist vermutlich
gemeint, dass man diese 2 Wege geht:

[mm] \bullet [/mm]    Substitution durchführen, unbestimmtes Integral
lösen (Stammfunktion ermitteln), rücksubstituieren, Grenzen
für x einsetzen und Ergebnis ausrechnen

[mm] \bullet [/mm]    Substitution durchführen, unbestimmtes Integral
lösen (Stammfunktion ermitteln), Grenzen substituieren
(u-Werte anstatt x-Werte als Grenzen),  Grenzen für u
einsetzen und Ergebnis ausrechnen


LG ,   Al-Chwarizmi




Bezug
        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:20 Sa 08.11.2014
Autor: nils-97

Kann mir einer den genauen Lösungsweg dazu geben?

Lg Nils

Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Sa 08.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Kann mir einer den genauen Lösungsweg dazu geben?

Hallo Nils

Hast du denn schon versucht, meinen Hinweisen zu folgen ?
Normalerweise schreiben wir hier nicht einfach fertige
Lösungswege hin, sondern möchten "Hilfe zur Selbsthilfe"
geben, was die aktive Mitarbeit des Anfragenden erfordert.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:54 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Ja und ich hab es nicht hinbekommen :(

Lg Nils

Bezug
                                
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:17 So 09.11.2014
Autor: Infinit

Hallo nils,
dann zeige uns doch bitte mal Deine Rechenschritte. Dann kann man viel zielgenauer weiterhelfen.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:34 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Das ist mein Rechenweg für Aufgabe 1.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:44 So 09.11.2014
Autor: Marcel

P.S. Ich habe Dir das Bild verkleinert und gedreht, damit es für die
meisten wenigstens lesbar ist, was Du geschrieben hast!

Bezug
                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:49 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Dankesehr :)

Bezug
                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 So 09.11.2014
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast gleich im ersten Schritt eine Minusklammer übersehen,

[mm] \int\frac{x}{\sqrt{1-x}}dx [/mm]
[mm] =\int\frac{1-z^{2}}{\sqrt{1-(1-z^{2})}}\cdot(-2z)dz [/mm]
[mm] =\int\frac{-2z(1-z^{2})}{\sqrt{z^{2}}}dz [/mm]
[mm] =\int\frac{-2z(1-z^{2})}{z}dz [/mm]
[mm] =\int-2(1-z^{2})dz [/mm]

Nun wieder du.

Marius

Bezug
                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Das kommt bei mir bei dem Integral [mm] \integral_{0}^{3}{1/(1+x)^2 dx} [/mm] heraus, wenn ich mit x=z-1 substituiere.

x'= dz/dx = 1
dx = dz/1

[mm] \integral_{0}^{3}{1/(1+x)^2 dx} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{1/(1+z-1)^2 *dz} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{1/z^2 *dz} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{1*(-1)+z^-1 dz} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{-z^-1 dz} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{-1/z} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}{-1/1+x} [/mm]

Integral ausrechen: -1/1+3 = -1/4 -0


Kommt mir falsch vor...

und wie ermittel ich die Intergrationsgrenzen von z?

Bezug
                                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Bei Grenzen aufpassen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 So 09.11.2014
Autor: Infinit

Hallo nils-97,
die Substitution ist schon okay, aber nur für das unbestimmte Integral.
Wir haben
[mm] \int \bruch{1}{z^2} \, dz = - \bruch{1}{z} [/mm]
Die untere Grenze bei x = 0 wird demzufolge zu z = 1, die obere Grenze x=3 wird zu z = 4
Damit bekomme ich [mm] - 1/4 +1 [/mm] raus, also 3/4.
Wenn richtig gerechnet wurde, muss dies natürlich auch für die Variable in x gelten, das stimmt sogar, denn
[mm] - \bruch{1}{z} |^4_1 = - \bruch{1}{x+1} |^3_0 = \bruch{3}{4}  [/mm]
Bei Substitutionen sollte man erst mal das unbestimmte Inegral ausrechnen und dann die angepassetn Grenzen einsetzen. 
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Vielen Dank :)

Das ist jetzt meine hoffentlich letzte Frage :D

Das selbe soll jetzt nochmal mit [mm] \integral_{-1}^{2}{x/\wurzel{x+2} dx} [/mm] gemacht werden.

Das ist mein, ich glaube völlig falscher, Rechenweg:

[mm] x=z^2+2 [/mm]
[mm] z^2=x-2 [/mm]
x'=dx/dz =2z
dx=2z*dz

[mm] \integral_{-1}^{2}{2+z^2/\wurzel{(2+z^2)+2} *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{2+z^2/\wurzel{(2z^2+4} *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{2+z/\wurzel{2} *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{2z* 2+z/\wurzel{2} *dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{3z/\wurzel{2}} [/mm]
Und wie ich resubstituieren soll weis ich nich...

Das ist falsch oder?

Bezug
                                                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Nicht nachhvollziehbar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 So 09.11.2014
Autor: Infinit

Hallo Nils,
wenn man mal von den falschen, da in x geschriebenen, Integralgrenzen absieht, kann ich schon nicht mehr nachverfolgen, was Du aber der zweiten Zeile gemacht hast.
Die Idee ist doch hier, die Wurzel möglichst zu vereinfachen und dann wäre es doch naheliegend, mal
[mm] x = z^2-2 [/mm] zu substituieren.
Fange damit noch mal an.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
[mm] x=-2+z^2 [/mm]
[mm] z^2=x+2 [/mm]
x'=dx/dz =2z
dx=2z*dz

[mm] \integral_{-1}^{2}{x/\wurzel{(x+2)} dx} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{-2+z^2/\wurzel{(-2+z^2)+2} *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{-2+z^2/\wurzel{(z^2} *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{-2+z *2z*dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{2z*(-2)+z *dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{2z*(-1)+z^2 *dz} [/mm]
[mm] \integral_{-1}^{2}{-2z+z^2} [/mm]

= [mm] -2(\wurzel{x+2}+(x+2)^2 [/mm]

Ist das richtig, bei mir haut das mit den Intervallgrenzen nicht hin

Bezug
                                                                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 So 09.11.2014
Autor: M.Rex

Hallo


> [mm]x=-2+z^2[/mm]
> [mm]z^2=x+2[/mm]
> x'=dx/dz =2z
> dx=2z*dz

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{x/\wurzel{(x+2)} dx}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{-2+z^2/\wurzel{(-2+z^2)+2} *2z*dz}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{-2+z^2/\wurzel{(z^2} *2z*dz}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{-2+z *2z*dz}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{2z*(-2)+z *dz}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{2z*(-1)+z^2 *dz}[/mm]

>

> [mm]\integral_{-1}^{2}{-2z+z^2}[/mm]

>

> = [mm]-2(\wurzel{x+2}+(x+2)^2[/mm]
> Ist das richtig,

Bei der Ganzen rechnung fehlen immer wieder Klammern um den Zähler des Bruches

> bei mir haut das mit den Intervallgrenzen
> nicht hin

Dann bestimme doch erstmal das unbetimmte Integral- das entspricht ja der Stammfunktion.

Also hier:

[mm] \int\frac{x}{\sqrt{x+2}}dx [/mm]

Nun substituiere [mm]z^{2}=x+2\Leftrightarrow x=z^{2}-2[/mm]

Damit gilt dann auch: [mm] x'(z)=\frac{dx}{dz}=2z [/mm]
Aus [mm] \frac{dx}{dz}=2z [/mm] folgt [mm]dx=2dz[/mm]

Und damit wird
[mm] \int\frac{x}{\sqrt{x+2}}dx [/mm]
zu
[mm] \int\frac{z^{2}-2}{\sqrt{z^{2}-2+2}}\cdot2zdz [/mm]
[mm] =\int\frac{2z^{3}-4z}{\sqrt{z^{2}}}dz [/mm]
[mm] =\int\frac{2z^{3}-4z}{z}dz [/mm]
[mm] =\int2z^{2}-4zdz [/mm]
[mm] =\frac{2}{3}z^{3}-4z^{2} [/mm]
[mm] =\frac{2}{3}\cdot(\sqrt{x+2})^{3}-4\cdot(\sqrt{x+2})^{2} [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]

Marius

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Ok gut, danke

Lg Nils

Bezug
                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Und wie kann ich jetzt resubstituieren?

denn die Stammfunktion ist ja [mm] -4/3z^3 [/mm]
und ich muss ja mit [mm] z^2=1-x [/mm]

Lg Nils

Bezug
                                                                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 09.11.2014
Autor: M.Rex


> Und wie kann ich jetzt resubstituieren?

>

> denn die Stammfunktion ist ja [mm]-4/3z^3[/mm]
> und ich muss ja mit [mm]z^2=1-x[/mm]

Aus [mm] z^{2}=1-x [/mm] folt doch [mm] z=\sqrt{1-x} [/mm]

> Lg Nils

Marius

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Stimmt ja :D

Danke!

Lg Nils

Bezug
                                                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 So 09.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Aus [mm]z^{2}=1-x[/mm] folgt doch [mm]z=\sqrt{1-x}[/mm]


Das stimmt zwar so nicht. Man dürfte da nur auf   [mm] |z|=\sqrt{1-x} [/mm]
schließen.

Doch eigentlich wäre ja die ursprüngliche Idee für die
Substitution gar nicht, [mm] x:=1-z^2 [/mm]  zu definieren (siehe da),

sondern  [mm] z:=\sqrt{1-x} [/mm]  (wie ich schon da vorge-
schlagen hatte, mit einem u anstatt z).

Das ist nicht dasselbe.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Das ist meine Lösung zu Aufgabe 1:

= [mm] -1/(2-2x^2) [/mm] + C oder -1/2 + [mm] x^2/2 [/mm] + C

Bezug
        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Hier ist die komplette Aufgabenstellung mit dem Material.

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]



Ich verstehe das nicht, bitte helft mir -.-

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Urheberrecht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

Du darfst keine Materialien, die nicht von Dir stammen, abfotographieren
und hochladen. Sorry, aber da musst Du schon selbst etwas mehr schreiben.
Wir dürfen sowas aus

    Urheberrechtlichen Gründen

nicht ohne Weiteres freigeben, selbst, wenn wir wollten.

Bei Deiner Rechnung oben bitte ich Dich zudem, in Zukunft den

   Formeleditor

zu verwenden.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Woher weis ich ob ich x'=dz/dx oder x'=dx/dz verwenden muss?

Kann mir das jemand erklären?

Lg Nils

Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 So 09.11.2014
Autor: fred97


> Woher weis ich ob ich x'=dz/dx oder x'=dx/dz verwenden
> muss?
>  Kann mir das jemand erklären?

Wenn x eine Funktion der Variablen z ist, so x'=dx/dz

FRED


>  
> Lg Nils


Bezug
        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Wie kann ich die Substitutionsmethode bei der Integration grafisch darstellen?

Kann mir das jemand zeigen?

Lg Nils

Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 09.11.2014
Autor: Infinit

Hallo Nils,
was willst Du denn da darstellen? Du gehst von einem Koordinatensystem in x auf ein Koordinatensystem in z über und von der Art der Substitution hängt es ab, wie sich dabei Dein f(x) in ein f(z) verwandelt.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Das ist egal, man kann eine bespielfunktion nehmen.

Bezug
                        
Bezug
Substitutionsmethode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 So 09.11.2014
Autor: nils-97

Aufgabe
Wie sieht denn sowas aus?

Lg Nils

Bezug
                
Bezug
Substitutionsmethode: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 So 09.11.2014
Autor: leduart

Hallo
ich häge dir ein Bild an, für deine erste Funktion [mm] 1/(1+z)^2 [/mm]  mit x=1+z
da nimmt man einfach das neue Koordinatensysten, das um 1 nach links verschoben ist,
im Bild hast du die rote Achse und rote Funktion f(z) dann die verschobene Achsr, zu der die blaue x-Achse mit neuem 0 Punkt gehört. die Funktion sieht im neuen Koordinatensystem gleich aus, nur verschoben,
zwischen den 2 Roten Strichen vonz= 1 bis z=3 hast du jetzt die neuen Grenzen auf der blauen x- Achse von 2 bis 4.
ich hoffe du verstehst es do. bei komplizierteren Suvstitutionen hat man nicht nur Verschiebungen, sondern auch noch Verzerrungen, dann wird aber eine passende Graphik sehr unübersichtlich.
Vorstellen kannst du dir das etwa so: man zeichnet die Graphik auf ein Gummituch, dann verzeiht man es so, dass eine einfachere Kurve entsteht, rechnet deren Fläche aus, und weiß wie stark man verzerrt hat und kann durchs rückgängig machen dann  die eigentliche Fläche bestimmen. aber diese Verzerrung ist schwer darzustellen, das soll mal dein Lerer(in) versuchen.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Substitutionsmethode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Mo 10.11.2014
Autor: nils-97

Ok super, dankesehr :)
Lg Nils

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