www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Surjektivität
Surjektivität < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Surjektivität: Weihnachtsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 14:08 Mo 18.12.2017
Autor: fred97

Aufgabe
Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig und es gelte $|f(x)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $|x| [mm] \to \infty$. [/mm]

Man zeige: $f$ ist surjektiv [mm] \gdw $f(\IR)$ [/mm] ist offen.

Diese, wie ich meine, reizvolle Aufgabe ist mir kürzlich über den Weg gelaufen. Mit Weihnachten hat sie nichts zu tun. Ich bitte mal wieder darum, dass einer der Moderatoren die Aufgabe in der üblichen Art kennzeichnet.

Danke und Gruß

FRED



        
Bezug
Surjektivität: Dummy-Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Mo 18.12.2017
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

ich bin mal so frei und stelle die Dummy-Frage, damit die Übungsaufgabe unter den offenen Fragen sichtbar bleibt.

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 So 24.12.2017
Autor: fred97

Die Frage ist beantwortet !

Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> für [mm]|x| \to \infty[/mm].
>  
> Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.

-----------------------------------------------

Betrachten wir die uneigentlichen Limites

         [mm] $\limes_{x \to -\infty}f(x)$ [/mm]  und  [mm] $\limes_{x \to +\infty}f(x)$ [/mm]

welche nach Voraussetzung existieren müssen.  (***)

Sind diese beiden Grenzwerte unterschiedlich
(also [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] oder umgekehrt), so
durchläuft die Funktion nach dem Zwischenwertsatz
alle möglichen reellen Werte mindestens einmal.
f ist also surjektiv.
Der Wertebereich von f ist dann  [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \IR [/mm]  und
damit eine offene Menge.

Andernfalls, wenn die obigen uneigentlichen Grenz-
werte übereinstimmen (beide [mm] +\infty [/mm] oder beide [mm] -\infty), [/mm]
dann besitzt f entweder ein absolutes Minimum Min oder
ein absolutes Maximum Max.
Ebenfalls mittels Zwischenwertsatz ist dann ersichtlich,
dass im ersten Unterfall  [mm] f(\IR) [/mm] = [Min , [mm] +\infty) [/mm] und im
zweiten Unterfall   [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] (-\infty [/mm] , Max] .
f ist also offensichtlich nicht surjektiv.
Diese Wertemengen sind halboffene Intervalle, also
keine offenen Mengen.

Da keine weiteren Alternativen für den generellen
Verlauf der Funktion f in Frage kommen, ist der
behauptete Zusammenhang erwiesen.

LG ,   Al-Chwarizmi


(***)Bemerkung:

Man könnte sich allenfalls noch den etwas exotischen
Fall vorstellen, wo die uneigentlichen Limites

         [mm] $\limes_{x \to -\infty}f(x)$ [/mm]  und  [mm] $\limes_{x \to +\infty}f(x)$ [/mm]

nicht (oder nicht beide) existieren, obwohl  [mm] $\limes_{|x| \to \infty}|f(x)|\ [/mm] =\ [mm] \infty$ [/mm]
Es verbliebe noch zu zeigen, dass dieses Verhalten
nicht mit der Stetigkeit von f vereinbar ist.  


Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Di 19.12.2017
Autor: fred97


> > Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> > für [mm]|x| \to \infty[/mm].
>  >  
> > Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.
>  -----------------------------------------------

Hallo Al,


>  
> Betrachten wir die uneigentlichen Limites
>  
> [mm]\limes_{x \to -\infty}f(x)[/mm]  und  [mm]\limes_{x \to +\infty}f(x)[/mm]
>  
> welche nach Voraussetzung existieren müssen.  (***)
>  
> Sind diese beiden Grenzwerte unterschiedlich
> (also [mm]+\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] oder umgekehrt), so
>  durchläuft die Funktion nach dem Zwischenwertsatz
>  alle möglichen reellen Werte mindestens einmal.
>  f ist also surjektiv.
>  Der Wertebereich von f ist dann  [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\IR[/mm]  und
>  damit eine offene Menge.

O.K.


>  
> Andernfalls, wenn die obigen uneigentlichen Grenz-
>  werte übereinstimmen (beide [mm]+\infty[/mm] oder beide [mm]-\infty),[/mm]
>  dann besitzt f entweder ein absolutes Minimum Min oder
>  ein absolutes Maximum Max.
> Ebenfalls mittels Zwischenwertsatz ist dann ersichtlich,
>  dass im ersten Unterfall  [mm]f(\IR)[/mm] = [Min , [mm]+\infty)[/mm] und im
>  zweiten Unterfall   [mm]f(\IR)[/mm] = [mm](-\infty[/mm] , Max] .
>  f ist also offensichtlich nicht surjektiv.
>  Diese Wertemengen sind halboffene Intervalle, also
>  keine offenen Mengen.

Du solltest noch begründen, warum Min bzw. Max existieren.


>  
> Da keine weiteren Alternativen für den generellen
>  Verlauf der Funktion f in Frage kommen, ist der
>  behauptete Zusammenhang erwiesen.

O.K.

Gruß FRED


>  
> LG ,   Al-Chwarizmi
>
>
> (***)Bemerkung:
>  
> Man könnte sich allenfalls noch den etwas exotischen
>  Fall vorstellen, wo die uneigentlichen Limites
>  
> [mm]\limes_{x \to -\infty}f(x)[/mm]  und  [mm]\limes_{x \to +\infty}f(x)[/mm]
>  
> nicht (oder nicht beide) existieren, obwohl  [mm]\limes_{|x| \to \infty}|f(x)|\ =\ \infty[/mm]
>  
> Es verbliebe noch zu zeigen, dass dieses Verhalten
>  nicht mit der Stetigkeit von f vereinbar ist.  
>  


Bezug
                        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Di 19.12.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Du solltest noch begründen, warum Min bzw. Max
> existieren.

Nun ja, das ist einer der Punkte, die ich für praktisch
"trivial" hielt:

Zu jeder Funktion mit den vorausgesetzten Eigenschaften
und beispielsweise  [mm] $\limes_{x\to \infty}f(x)\ [/mm] =\ [mm] \limes_{x\to -\infty}f(x)\ [/mm] =\ [mm] +\infty$ [/mm]  gibt es
geeignete kompakte Intervalle [a,b] , auf welche man dann
den Satz von Weierstrass anwenden kann.

Auf eine entsprechende "Konstruktionsvorschrift" will
ich aber hier verzichten. Meine eigentliche (anschauliche)
Überlegung halte ich ohnehin für leicht begreiflich:
Das Bild [mm] f(\IR) [/mm] in [mm] \IR [/mm] unter einer stetigen Funktion muss
eine zusammenhängende Menge sein, mit anderen Worten
ein Intervall. Falls dieses Intervall z.B. von unten beschränkt
ist (dann kann es nicht auch oben beschränkt sein), dann
muss die größte untere Schranke dieses Intervalls zum
Intervall gehören - eben nach dem Satz von Weierstraß.

LG ,   Al-Chw.    


Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 Di 19.12.2017
Autor: donquijote


> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] stetig und es gelte [mm]|f(x)| \to \infty[/mm]
> für [mm]|x| \to \infty[/mm].

Hallo,
f lässt sich zu einer stetigen Funktion [mm]{\bar{\mathbb R}}\to{\bar{\mathbb R}}[/mm] fortsetzen, wobei [mm]{\bar{\mathbb R}}[/mm] die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von [mm]\mathbb{R}[/mm] bezeichnet. [mm]f({\bar{\mathbb R}})[/mm] ist kompakt, [mm]f(\mathbb R)=f({\bar{\mathbb R}})\setminus\{\infty\}[/mm] kann nur dann nichtleer und offen sein, wenn [mm]f({\bar{\mathbb R}})={\bar{\mathbb R}}[/mm].

>  
> Man zeige: [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw[/mm]  [mm]f(\IR)[/mm] ist offen.
>  Diese, wie ich meine, reizvolle Aufgabe ist mir kürzlich
> über den Weg gelaufen. Mit Weihnachten hat sie nichts zu
> tun. Ich bitte mal wieder darum, dass einer der Moderatoren
> die Aufgabe in der üblichen Art kennzeichnet.
>  
> Danke und Gruß
>
> FRED
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Di 19.12.2017
Autor: fred97

Hallo donquijote,

allse O.K., aber man muss sich schon mit Ein-Punkt-Kompaktifizierung auskennen !

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Di 19.12.2017
Autor: fred97

Meine Lösung: sei [mm] $A=f(\IR)$ [/mm] und sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge in $A$ mit Limes $a$. Dann gibt es eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] a_n=f(x_n) [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Wäre [mm] (x_n) [/mm] unbeschränkt, so gäbe es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] |x_{n_k}| \to \infty. [/mm] Nach Vor. hätten wir dann [mm] |a_{n_k}|=|f(x_{n_k})| \to \infty, [/mm] im Widerspruch zu [mm] $|a_{n_k}| \to [/mm] |a|$.

Damit ist also [mm] (x_n) [/mm] beschränkt und enthält nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge  [mm] (x_{n_k}). [/mm] Der Limes dieser Teilfolge sei [mm] x_0. [/mm]

Da $f$ stetig ist, haben wir

  [mm] a_{n_k}=f(x_{n_k}) \to f(x_0), [/mm]

also [mm] $a=f(x_0) \in [/mm] A$.

damit ist $A$ abgeschlossen.

Ist $f$ surjektiv, so ist $A$ offen. Ist umgekehrt $A$ offen, so ist $A$ offen und abgeschlossen, also $A= [mm] \IR$. [/mm]

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de