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Forum "Zahlentheorie" - Teileranzahl,Quadratzahl
Teileranzahl,Quadratzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Teileranzahl,Quadratzahl: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Sa 09.09.2017
Autor: nkln

Aufgabe
Zeigen sie,dass$ m [mm] \in \IN$ [/mm] genau dann eine Quadratzahl ist,wenn [mm] $\tau(m)$ [/mm] ungerade ist.

Hi. [mm] $\tau(m)$ [/mm] ist die anzahl der Teiler von m

Behauptung: $ m [mm] \in \IN$ [/mm]  Quadratzahl [mm] \gdw $\tau(m)$ [/mm] ungerade


jede natürlich Zahl m lässt sich als Produkt,bis auf die Reihenfolge eindeutig, von Primzahlen darstellen.

[mm] m=(p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k})^2=p_1^{2v_1}*...*p_k^{2v_k} [/mm]

jetzt haben wir einen Satz im Skript ,der heißt [mm] $\tau(n)=\prod_{p \in \IP} (v_p(n)+1)$ [/mm] mit [mm] v_p(n) [/mm] die Vielfachheit,mit der p in n auftritt.

also  [mm] $\tau(m)=\prod_{p \in \IP} (v_p(m)+1)=(2v_1+1)*(2v_2+1)*...*(2v_k+1)$ [/mm]

Daraus folgt Teileranzahl ungerade.


Geht das so?

liebe grüße

        
Bezug
Teileranzahl,Quadratzahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Sa 09.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Zeigen sie,dass[mm] m \in \IN[/mm] genau dann eine Quadratzahl
> ist,wenn [mm]\tau(m)[/mm] ungerade ist.
> Hi. [mm]\tau(m)[/mm] ist die anzahl der Teiler von m

>

> Behauptung: [mm]m \in \IN[/mm] Quadratzahl [mm]\gdw[/mm] [mm]\tau(m)[/mm] ungerade

>
>

> jede natürlich Zahl m lässt sich als Produkt,bis auf die
> Reihenfolge eindeutig, von Primzahlen darstellen.

>

> [mm]m=(p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k})^2=p_1^{2v_1}*...*p_k^{2v_k}[/mm]

>

> jetzt haben wir einen Satz im Skript ,der heißt
> [mm]\tau(n)=\prod_{p \in \IP} (v_p(n)+1)[/mm] mit [mm]v_p(n)[/mm] die
> Vielfachheit,mit der p in n auftritt.

>

> also [mm]\tau(m)=\prod_{p \in \IP} (v_p(m)+1)=(2v_1+1)*(2v_2+1)*...*(2v_k+1)[/mm]

>

> Daraus folgt Teileranzahl ungerade.

>
>

> Geht das so?

Ja, klar. Das Produkt von ungeraden Zahlen ist selbst ungerade, und dass die Faktoren in der obigen Teileranzahl-Funktion sämtlich ungerade sind, folgt ja aus der Tatsache, dass die Primfaktoren einer Quadratzahl alle gerade Vielfachheiten haben müssen.


Gruß, Diophant

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