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Forum "Topologie und Geometrie" - Topologie, Zusammenhängend
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Topologie, Zusammenhängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Mo 30.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Sei $X$ ein topologischer Raum. Zeigen Sie:

a) Eine Teilmenge [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ ist genau dann zusammenhängend (als Teilraum), wenn für je zwei offene Teilmengen [mm] $U,V\subseteq [/mm] X$ aus [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ und [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$ [/mm] bereits [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$ folgt.

b) Ist [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend, so auch der Abschluss [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] X$.

Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

zu a):

[mm] "$\Rightarrow$" [/mm]

Sei $Y$ zusammenhängend. Daher gilt für alle nichtleeren offenen Mengen (hierbei ist dann gemeint, dass die Mengen bezüglich der Teilraumtopologie offen sind, oder?) $U,V$, dass wenn [mm] $U\cap [/mm] V=Y$, so ist [mm] $U\cap V\neq\emptyset$. [/mm]
Also $Y$ ist nicht als Vereinigung von nichtleeren disjunkten Mengen darstellbar.

Sei nun [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ mit [mm] $U\capV\cap Y=\emptyset$. [/mm]
Angenommen es gilt [mm] $Y\nsubseteq [/mm] U$ und [mm] $Y\nsubseteq [/mm] V$.
Dann gibt es [mm] $y_U, y_V\in [/mm] Y$, mit [mm] $y_U\notin [/mm] U$ und [mm] $y_V\notin [/mm] V$.

Hier komme ich jedoch nicht weiter um einen Widerspruch herzuleiten.
Ist der Ansatz überhaupt korrekt?

Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 Di 31.05.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]X[/mm] ein topologischer Raum. Zeigen Sie:
>  
> a) Eine Teilmenge [mm]Y\subseteq X[/mm] ist genau dann
> zusammenhängend (als Teilraum), wenn für je zwei offene
> Teilmengen [mm]U,V\subseteq X[/mm] aus [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] und [mm]U\cap V\cap Y=\emptyset[/mm]
> bereits [mm]Y\subseteq U[/mm] oder [mm]Y\subseteq V[/mm] folgt.
>  
> b) Ist [mm]Y\subseteq X[/mm] zusammenhängend, so auch der Abschluss
> [mm]\overline{Y}\subseteq X[/mm].
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  
> zu a):
>  
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
>  
> Sei [mm]Y[/mm] zusammenhängend. Daher gilt für alle nichtleeren
> offenen Mengen (hierbei ist dann gemeint, dass die Mengen
> bezüglich der Teilraumtopologie offen sind, oder?)


Ja, also offen in Y.



>  [mm]U,V[/mm],
> dass wenn [mm]U\cap V=Y[/mm], so ist [mm]U\cap V\neq\emptyset[/mm].
>  Also [mm]Y[/mm]
> ist nicht als Vereinigung von nichtleeren disjunkten Mengen
> darstellbar.


Upps, da ist was danaben gegangen !

Y ist genau dann zusammenhängen, wenn aus

  U,V offen in Y, U und V disjunkt und Y=U [mm] \cup [/mm] V

stets folgt

  U= [mm] \emptyset [/mm] oder V= [mm] \emptyset. [/mm]


>  
> Sei nun [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] mit [mm]U\capV\cap Y=\emptyset[/mm].


Was machst Du da ??


>  
> Angenommen es gilt [mm]Y\nsubseteq U[/mm] und [mm]Y\nsubseteq V[/mm].
>  Dann
> gibt es [mm]y_U, y_V\in Y[/mm], mit [mm]y_U\notin U[/mm] und [mm]y_V\notin V[/mm].
>  
> Hier komme ich jedoch nicht weiter um einen Widerspruch
> herzuleiten.
>  Ist der Ansatz überhaupt korrekt?

Nein.

Vor. ist: Y ist zusammenhängend.

Zeigen sollst Du:

aus  $ [mm] U,V\subseteq [/mm] X $, U,V offen (in X) , $ [mm] Y\subseteq U\cup [/mm] V $ und $ [mm] U\cap V\cap Y=\emptyset [/mm] $

folgt

$ [mm] Y\subseteq [/mm] U $ oder $ [mm] Y\subseteq [/mm] V $ .

Dazu setze [mm] U_1:=U \cap [/mm] Y und [mm] V_1:=V \cap [/mm] Y.  Dann sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] V_1 [/mm] offen in Y.

Weiter gilt [mm] U_1 \cap V_1 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] (warum ?) und [mm] U_1 \cup V_1=Y [/mm] (warum ?)

Nach Vor. ist also [mm] U_1= \emptyset [/mm] oder [mm] V_1= \emptyset. [/mm]

Zeige:

aus [mm] U_1= \emptyset [/mm]  folgt Y [mm] \subseteq [/mm] V

und

aus [mm] V_1= \emptyset [/mm]  folgt Y [mm] \subseteq [/mm] U.

FRED

>  
> Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
>  Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Di 31.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Danke. Das hat mir sehr geholfen:

> Weiter gilt $ [mm] U_1 \cap V_1 [/mm] $ = $ [mm] \emptyset [/mm] $ (warum ?)

Angenommen es gilt [mm] $U_1\cap V_1\neq\emptyset$. [/mm]
Dann gibt es ein [mm] $y\in U_1$ [/mm] und [mm] $y\in V_1$, [/mm] also auch [mm] $y\in [/mm] Y$ nach Definition von [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $V_1$. [/mm] Also [mm] $y\in U_1, V_1, [/mm] Y$. Im Widerspruch zu [mm] $U_1\cap V_1\cap Y=\emptyset$. [/mm]

> und $ [mm] U_1 \cup V_1=Y [/mm] $ (warum ?)

Sei [mm] $x\in U_1\cup V_1$, [/mm] dann ist [mm] $x\in U_1$ [/mm] oder [mm] $x\in V_1$. [/mm]
Also [mm] $x\in [/mm] U$ und [mm] $x\in [/mm] Y$ oder [mm] $x\in [/mm] V$ und [mm] $x\in [/mm] Y$. In beiden Fällen also [mm] $x\in [/mm] Y$

Für [mm] $x\in [/mm] Y$ ist [mm] $x\in U_1\cup V_1$ [/mm] trivial.

Also [mm] $Y=U_1\cup V_1$. [/mm]

Da $Y$ zusammenhängend gilt also [mm] $U_1=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $V_1=\emptyset$. [/mm]

Sei [mm] $U_1=\emptyset$. [/mm]
Dann ist [mm] $U\cap Y=\emptyset$. [/mm]

1. Fall: [mm] Y=\emptyset [/mm] oder [mm] U=\emptyset [/mm] trivial

2. Fall: [mm] U\neq\emptyset [/mm] und [mm] Y\neq\emptyset [/mm]

Also für alle [mm] $u\in [/mm] U$ ist [mm] $u\notin [/mm] Y$. Da [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ ist für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ auch [mm] $y\in [/mm] V$. Also [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.

Bezug
                        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Di 31.05.2016
Autor: fred97


> Danke. Das hat mir sehr geholfen:
>  
> > Weiter gilt [mm]U_1 \cap V_1[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] (warum ?)
>  
> Angenommen es gilt [mm]U_1\cap V_1\neq\emptyset[/mm].
>  Dann gibt es
> ein [mm]y\in U_1[/mm] und [mm]y\in V_1[/mm], also auch [mm]y\in Y[/mm] nach Definition
> von [mm]U_1[/mm] und [mm]V_1[/mm]. Also [mm]y\in U_1, V_1, Y[/mm]. Im Widerspruch zu
> [mm]U_1\cap V_1\cap Y=\emptyset[/mm].
>  
> > und [mm]U_1 \cup V_1=Y[/mm] (warum ?)
>
> Sei [mm]x\in U_1\cup V_1[/mm], dann ist [mm]x\in U_1[/mm] oder [mm]x\in V_1[/mm].
>  
> Also [mm]x\in U[/mm] und [mm]x\in Y[/mm] oder [mm]x\in V[/mm] und [mm]x\in Y[/mm]. In beiden
> Fällen also [mm]x\in Y[/mm]
>  
> Für [mm]x\in Y[/mm] ist [mm]x\in U_1\cup V_1[/mm] trivial.
>  
> Also [mm]Y=U_1\cup V_1[/mm].
>  
> Da [mm]Y[/mm] zusammenhängend gilt also [mm]U_1=\emptyset[/mm] oder
> [mm]V_1=\emptyset[/mm].
>  
> Sei [mm]U_1=\emptyset[/mm].
>  Dann ist [mm]U\cap Y=\emptyset[/mm].
>  
> 1. Fall: [mm]Y=\emptyset[/mm] oder [mm]U=\emptyset[/mm] trivial
>  
> 2. Fall: [mm]U\neq\emptyset[/mm] und [mm]Y\neq\emptyset[/mm]
>  
> Also für alle [mm]u\in U[/mm] ist [mm]u\notin Y[/mm]. Da [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm]
> ist für alle [mm]y\in Y[/mm] auch [mm]y\in V[/mm]. Also [mm]Y\subseteq V[/mm].


Ist O.K.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Di 31.05.2016
Autor: impliziteFunktion

Danke.
Ich habe nun leider keine Zeit mehr mich mit der anderen Richtung und der b) zu beschäftigen. Das werde ich heute gegen Abend nachholen.



Bezug
                                        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:45 Mi 01.06.2016
Autor: impliziteFunktion

Edit: Aus versehen eine weiter Mitteilung geschrieben.
Bezug
                                                
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:47 Mi 01.06.2016
Autor: impliziteFunktion

[mm] "$\Leftarrow$" [/mm]

Sei für je zwei offene Teilmengen [mm] $U,V\subseteq [/mm] X$ mit [mm] $Y\subseteq U\cup [/mm] V$ und [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$ [/mm] mit [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.

Ich muss zeigen, dass für je zwei offene Mengen [mm] $U_1, V_1$ [/mm] in $Y$ folgt, dass wenn [mm] $U_1\cup V_1=Y$, [/mm] dann ist [mm] $U_1=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $V_1=\emptyset$. [/mm]

gilt.

Sei also o.B.d.A [mm] $Y\subseteq [/mm] U$. Dann ist [mm] $U\cap V\cap Y=V\cap Y=\emptyset$ [/mm] nach Voraussetzung.
Sei [mm] $U_1:=Y\cap [/mm] U$ und [mm] $V_1:=Y\cap [/mm] V$ offen in $Y$ mit [mm] $U_1\cup V_1=Y$. [/mm]
Wegen [mm] $V_1\subseteq [/mm] V$, ist [mm] $V_1\cap Y=\emptyset$ [/mm]

Behauptung: [mm] $V_1=\emptyset$ [/mm]

Sei nun also [mm] $Y=U_1\cup V_1=(Y\cap U)\cup (Y\cap V)=Y\cup(Y\cap [/mm] V)$

Angenommen [mm] $V_1\neq \emptyset$. [/mm] Dann gibt es ein [mm] $y\in V_1$ [/mm] mit [mm] $y\in [/mm] V$ und [mm] $y\in [/mm] Y$. Im Widerspruch zu [mm] $V_1\cap Y=\emptyset$ [/mm]

Somit muss [mm] $V_1=\emptyset$ [/mm] gelten.

Der andere Fall geht dann analog.

Bezug
                                                        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Do 02.06.2016
Autor: impliziteFunktion

Über einen Kommentar zu diesem Beweis würde ich mich weiterhin sehr freuen.

Bezug
                                                        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Fr 03.06.2016
Autor: huddel


> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
>  
> Sei für je zwei offene Teilmengen [mm]U,V\subseteq X[/mm] mit
> [mm]Y\subseteq U\cup V[/mm] und [mm]U\cap V\cap Y=\emptyset[/mm] mit
> [mm]Y\subseteq U[/mm] oder [mm]Y\subseteq V[/mm].
>  
> Ich muss zeigen, dass für je zwei offene Mengen [mm]U_1, V_1[/mm]
> in [mm]Y[/mm] folgt, dass wenn [mm]U_1\cup V_1=Y[/mm], dann ist [mm]U_1=\emptyset[/mm]
> oder [mm]V_1=\emptyset[/mm].
>  
> gilt.

Hier fehlt eine Vorraussetzung

>  
> Sei also o.B.d.A [mm]Y\subseteq U[/mm]. Dann ist [mm]U\cap V\cap Y=V\cap Y=\emptyset[/mm]
> nach Voraussetzung.

Soweit richtig

Ab hier versteh ich nicht mehr ganz was du machst

>  Sei [mm]U_1:=Y\cap U[/mm] und [mm]V_1:=Y\cap V[/mm] offen in [mm]Y[/mm] mit [mm]U_1\cup V_1=Y[/mm].
>  
> Wegen [mm]V_1\subseteq V[/mm], ist [mm]V_1\cap Y=\emptyset[/mm]
>  
> Behauptung: [mm]V_1=\emptyset[/mm]
>  
> Sei nun also [mm]Y=U_1\cup V_1=(Y\cap U)\cup (Y\cap V)=Y\cup(Y\cap V)[/mm]
>  
> Angenommen [mm]V_1\neq \emptyset[/mm]. Dann gibt es ein [mm]y\in V_1[/mm] mit
> [mm]y\in V[/mm] und [mm]y\in Y[/mm]. Im Widerspruch zu [mm]V_1\cap Y=\emptyset[/mm]
>  
> Somit muss [mm]V_1=\emptyset[/mm] gelten.

Aber du wolltest doch zeigen, dass $V = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, oder?

> Der andere Fall geht dann analog.

Es geht einfacher. Kleiner Startschubs:
Es gilt: [mm] $V\cap [/mm] Y = [mm] \emptyset$ [/mm] und [mm] $V\cup [/mm]  U = Y$
$ [mm] \Rightarrow$ $V\cap [/mm] (V [mm] \cup [/mm] U) = V [mm] \cap [/mm] Y$
$ [mm] \Leftrightarrow$ [/mm] ... jetzt du


Bezug
        
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Aufgabenteil b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mi 01.06.2016
Autor: impliziteFunktion

Ich möchte zeigen, dass wenn [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend ist, dann ist auch der Abschluss [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] X$ zusammenhängend.

Seien $U,V$ disjunkte offene Mengen mit [mm] $Y\subseteq\overline{Y}\subseteq U\cup [/mm] V$.
Sei [mm] $U\cap V\cap Y=\emptyset$. [/mm] Da $Y$ zusammenhängend, gilt nach a) [mm] $Y\subseteq [/mm] U$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] V$.

Ohne Einschränkung sei [mm] $Y\subseteq [/mm] U$. Dann ist [mm] $V\cap Y=\emptyset$. [/mm]
Daher für alle [mm] $y\in [/mm] Y$ ist [mm] $y\notin [/mm] V$.
Somit [mm] $Y\subseteq X\setminus [/mm] V$ abgeschlossen, da $V$ offen.
Also gilt insbesondere [mm] $\overline{Y}\subseteq X\setminus [/mm] V$.

Dann ist aber auch [mm] $\overline{Y}\cap V=\emptyset$, [/mm] andernfalls wäre dies ein Widerspruch zu [mm] $\overline{Y}\subseteq X\setminus [/mm] V$.
Dann gilt wiederum [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] U$

Insgesamt folgt also aus [mm] $\overline{Y}\subseteq U\cup [/mm] V$ disjunkt mit [mm] $U\cap V\cap\overline{Y}=\emptyset$, [/mm] dass [mm] $\overline{Y}\subseteq [/mm] U$.
Nach a) ist [mm] $\overline{Y}$ [/mm] also zusammenhängend.

Bezug
                
Bezug
Topologie, Zusammenhängend: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Fr 03.06.2016
Autor: huddel

passt :)

Bezug
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