Topologie der punktweisen Konv < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Do 24.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Betrachte den (reellen) Vektorraum der reellwertigen Funktionen auf [mm] \mathbb{R}, [/mm] also
[mm] \mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} [/mm]
und definiere darauf eine Topologie [mm] \tau [/mm] mittels Vorgabe einer Subbasis [mm] S_{t,a,b} [/mm] wobei für t,a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] mit [mm] a\le [/mm] b
[mm] S_{t,a,b}:= \{f\in \mathcal{F}| a < f(t) < b\}
[/mm]
Zeige, dass eine Folge von Funktionen [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] genau dann punktweise konvergiert, wenn sie in [mm] (\mathcal{F}, \tau) [/mm] konvergiert. |
Hallo,
[mm] \Rightarrow [/mm] )
Sei [mm] (f_n)_{n\in\mathbb{N}}\rightarrow [/mm] f punktweise:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}: f_n(x) \rightarrow [/mm] f(x) (n [mm] \rightarrow \infty)
[/mm]
D.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} \forall \epsilon>0: \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: f_n(x) \in B_{\epsilon}(f(x))
[/mm]
ZZ.: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_f [/mm] (Umgebungssystem von f) [mm] \exists n_0 [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: f_n(x) \in [/mm] U
Sei U [mm] \in U_f: \exists [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] f [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq [/mm] U.
Nach Definition von Subbasis gibt es endlich viele t,a,b sodass:
f [mm] \in \bigcap_{i=1}^n S_{t_i,a_i,b_i} \subseteq [/mm] U
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} \exists n_0: f_n(x) \in ]f(x)-\epsilon, f(x)+\epsilon[
[/mm]
Insbesondere ist für x fix: f(x) [mm] \in S_{x,f_n(x)-\epsilon,f_n(x)+\epsilon} [/mm] für n [mm] \ge n_0
[/mm]
Hilft mir das irgendwie?
LG,
sissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Do 24.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Betrachte den (reellen) Vektorraum der reellwertigen
> Funktionen auf [mm]\mathbb{R},[/mm] also
> [mm]\mathcal{F}=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\}[/mm]
> und definiere darauf eine Topologie [mm]\tau[/mm] mittels Vorgabe
> einer Subbasis [mm]S_{t,a,b}[/mm] wobei für t,a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]a\le[/mm] b
> [mm]S_{t,a,b}:= \{f\in \mathcal{F}| a < f(t) < b\}[/mm]
> Zeige,
> dass eine Folge von Funktionen [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] genau dann
> punktweise konvergiert, wenn sie in [mm](\mathcal{F}, \tau)[/mm]
> konvergiert.
> [mm]\Rightarrow[/mm] )
> Sei [mm](f_n)_{n\in\mathbb{N}}\rightarrow[/mm] f punktweise:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{R}: f_n(x) \rightarrow[/mm] f(x) (n
> [mm]\rightarrow \infty)[/mm]
> D.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{R} \forall \epsilon>0: \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall[/mm]
> n [mm]\ge n_0: f_n(x) \in B_{\epsilon}(f(x))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ZZ.: [mm]\forall[/mm] U
> [mm]\in U_f[/mm] (Umgebungssystem von f) [mm]\exists n_0[/mm] : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0: f_n(x) \in[/mm]
> U
(Am Ende meinst du [mm] $f_n\in [/mm] U$, nicht [mm] $f_n(x)\in [/mm] U$.)
> Sei U [mm]\in U_f: \exists[/mm] O [mm]\in \tau:[/mm] f [mm]\in[/mm] O [mm]\subseteq[/mm] U.
> Nach Definition von Subbasis gibt es endlich viele t,a,b
> sodass:
> f [mm]\in \bigcap_{i=1}^n S_{t_i,a_i,b_i} \subseteq[/mm] U
Da ich den Buchstaben n gerne für andere Zwecke freihalten möchte, gehe ich stattdessen von
f [mm]\in \bigcap_{i=1}^k S_{t_i,a_i,b_i} \subseteq[/mm] U
für ein [mm] $k\in\IN_0$ [/mm] aus.
Ziel ist nun, ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] zu finden, so dass für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gilt:
[mm] $f_n\in \bigcap_{i=1}^k S_{t_i,a_i,b_i}$.
[/mm]
Dann folgt für diese n jeweils wie gewünscht [mm] $f_n\in [/mm] U$.
Wenn wir für [mm] $i=1,\ldots,k$ [/mm] jeweils ein [mm] $n_{0,i}\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $f_n\in S_{t_i,a_i,b_i}$
[/mm]
für alle [mm] $n\ge n_{0,i}$ [/mm] finden, leistet [mm] $n_0:=\max(n_{0,1},\ldots,n_{0,k})$ [/mm] das Gewünschte (für den Fall $k=0$ sei das Maximum als 1 definiert).
Sei
[mm] $\varepsilon_i:=\min(b_i-f(t_i),f(t_i)-a_i)$.
[/mm]
Wegen [mm] $f\in S_{t_i,a_i,b_i}$ [/mm] gilt [mm] $\varepsilon_i>0$.
[/mm]
Dann existiert wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n(t_i)=f(t_i)$ [/mm] ein [mm] $n_{0,i}\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $|f(t_i)-f_n(t_i)|<\varepsilon_i$
[/mm]
für alle [mm] $n\ge n_{0,i}$.
[/mm]
Es folgt für diese $n$
[mm] $\blue{a_i}=f(t_i)-(f(t_i)-a_i)\le f(t_i)-\varepsilon_i<\blue{f_n(t_i)}
also gilt tatsächlich
[mm] $f_n(t_i)\in S_{t_i,a_i,b_i}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 25.09.2015 | | Autor: | sissile |
> Wenn wir für $ [mm] i=1,\ldots,n [/mm] $ jeweils ein $ [mm] n_{0,i}\in\IN [/mm] $ mit
$ [mm] f_n\in S_{t_i,a_i,b_i} [/mm] $
> für alle $ [mm] n\ge n_{0,i} [/mm] $ finden, leistet $ [mm] n_0:=\max(n_{0,1},\ldots,n_{0,k}) [/mm] $ das Gewünschte (für den Fall k=0 sei das Maximum als 1 definiert).
Hallo,
Du meinst sicher [mm] i=1,\ldots,k.
[/mm]
Danke für die Richtung!
Mir fällt das total schwer!
[mm] \Leftarrow [/mm] )
Sei x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] beliebig aber fix.
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig aber fix.
ZZ.: [mm] \exists n_0: \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon
[/mm]
d.h.: [mm] f_n \in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon} \forall [/mm] n [mm] \ge n_0
[/mm]
f [mm] \in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon} [/mm] da [mm] f(x)-\epsilon< f(x)
[mm] S_{x,f(x)-\epsilon, f(x)+ \epsilon} [/mm] ist als Element der Subbasis offen. Eine offene Menge, die f enthält ist insbesondere eine Umgebung um f.
Nach der Konvergenz in der Topologie: [mm] \exists n_0: \forall n\ge n_0: f_n \in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon}
[/mm]
Da [mm] \epsilon>0, [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] beliebig waren ist alles gezeigt.
Darf ich noch b) posten?
| Aufgabe | Zeige, dass die konstante Funktion f(x)=1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] im Abschluß [mm] \overline{A} [/mm] der Menge
[mm] A:=\{f \in \mathcal{F}| f(x)\not=0 \mbox{ für nur endlich viele x}\}
[/mm]
liegt.
Außerdem zeige, dass es keine Folge [mm] (f_n)_n [/mm] in A gibt, die gegen f konvergiert. |
1) ZZ. f [mm] \in \overline{A} [/mm] d.h. [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U_f: [/mm] U [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Sei U [mm] \in U_f [/mm] beliebig.
Es gibt endlich viele [mm] t_i, a_i, b_i:
[/mm]
f [mm] \in \bigcap_{i=1}^k S_{t_i, a_i, b_i} \subseteq [/mm] U für k [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
D.h. [mm] a_i \le [/mm] 1 [mm] \le b_i \forall i\in\{1,..,k\}
[/mm]
Konstruiere g [mm] \in \mathcal{F} [/mm] mit [mm] g(t_i)=1 \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,k\} [/mm] und g(x)=0 sonst.
So ist g [mm] \in [/mm] A, g [mm] \in \bigcup_{i=1}^k S_{t_i, a_i,b_i} \subseteq [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2)ZZ.: [mm] \not\exists (f_n)_{n\in\IN} [/mm] in A die gegen f konvergiert
Sei dazu [mm] (f_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] eine Folge in A, d.h. [mm] f_n(x)\not=0 [/mm] jeweils nur für endlich viele x.
Sei [mm] C_n:=\{x\in\mathbb{R}|f_n(x)\not=0\}, [/mm] nach Definition ist [mm] C_n \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] endlich.
ZZ.: [mm] \exists [/mm] U [mm] \in U_f: \forall n_0 \exists n\ge n_0: f_n \not\in [/mm] U
[mm] U:=S_{t,1/2,2} [/mm] mit t [mm] \not\in \bigcup_{n=1}^\infty C_n [/mm] ( solch ein t existiert da die abzählbare Vereinigung endlich vieler Elemente abzählbar ist aber [mm] \mathbb{R} [/mm] überabzählbar)
So ist [mm] S_{t,1/2,3} \in U_f [/mm] da 1/2 [mm] \le [/mm] f(t)=1 [mm] \le [/mm] 2
Aber [mm] f_n \not\in S_{t,1/2,3} [/mm] da 1/2 [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 2 falsch ist.
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Wenn wir für [mm]i=1,\ldots,n[/mm] jeweils ein [mm]n_{0,i}\in\IN[/mm] mit
>
> [mm]f_n\in S_{t_i,a_i,b_i}[/mm]
>
> > für alle [mm]n\ge n_{0,i}[/mm] finden, leistet
> [mm]n_0:=\max(n_{0,1},\ldots,n_{0,k})[/mm] das Gewünschte (für den
> Fall k=0 sei das Maximum als 1 definiert).
> Du meinst sicher [mm]i=1,\ldots,k.[/mm]
Genau. Bei mir ist im Moment wohl der Wurm drin...
> Danke für die Richtung!
> Mir fällt das total schwer!
Mein Eindruck ist, dass du gut dabei bist!
> [mm]\Leftarrow[/mm] )
> Sei x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] beliebig aber fix.
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig aber fix.
> ZZ.: [mm]\exists n_0: \forall[/mm] n [mm]\ge n_0: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/mm]
>
> d.h.: [mm]f_n \in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon} \forall[/mm] n
> [mm]\ge n_0[/mm]
>
> f [mm]\in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon}[/mm] da [mm]f(x)-\epsilon< f(x)
>
> [mm]S_{x,f(x)-\epsilon, f(x)+ \epsilon}[/mm] ist als Element der
> Subbasis offen. Eine offene Menge, die f enthält ist
> insbesondere eine Umgebung um f.
> Nach der Konvergenz in der Topologie: [mm]\exists n_0: \forall n\ge n_0: f_n \in S_{x,f(x)-\epsilon,f(x)+\epsilon}[/mm]
>
> Da [mm]\epsilon>0,[/mm] x [mm]\in \mathbb{R}[/mm] beliebig waren ist alles
> gezeigt.
> Darf ich noch b) posten?
Na klar! 
> Zeige, dass die konstante Funktion f(x)=1 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> im Abschluß [mm]\overline{A}[/mm] der Menge
> [mm]A:=\{f \in \mathcal{F}| f(x)\not=0 \mbox{ für nur endlich viele x}\}[/mm]
>
> liegt.
> Außerdem zeige, dass es keine Folge [mm](f_n)_n[/mm] in A gibt,
> die gegen f konvergiert.
>
> 1) ZZ. f [mm]\in \overline{A}[/mm] d.h. [mm]\forall[/mm] U [mm]\in U_f:[/mm] U [mm]\cap[/mm] A
> [mm]\not= \emptyset[/mm]
> Sei U [mm]\in U_f[/mm] beliebig.
> Es gibt endlich viele [mm]t_i, a_i, b_i:[/mm]
> f [mm]\in \bigcap_{i=1}^k S_{t_i, a_i, b_i} \subseteq[/mm]
> U für k [mm]\in \mathbb{N}[/mm]
> D.h. [mm]a_i \le[/mm] 1 [mm]\le b_i \forall i\in\{1,..,k\}[/mm]
>
> Konstruiere g [mm]\in \mathcal{F}[/mm] mit [mm]g(t_i)=1 \forall[/mm] i [mm]\in \{1,..,k\}[/mm]
> und g(x)=0 sonst.
(D.h. $g(x):=0$ für alle [mm] $x\in\IR\setminus\{t_1,\ldots,t_k\}$.)
[/mm]
> So ist g [mm]\in[/mm] A, g [mm]\in \bigcup_{i=1}^k S_{t_i, a_i,b_i} \subseteq[/mm]
> U
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
> 2)ZZ.: [mm]\not\exists (f_n)_{n\in\IN}[/mm] in A die gegen f
> konvergiert
> Sei dazu [mm](f_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] eine Folge in A, d.h.
> [mm]f_n(x)\not=0[/mm] jeweils nur für endlich viele x.
> Sei [mm]C_n:=\{x\in\mathbb{R}|f_n(x)\not=0\},[/mm] nach Definition
> ist [mm]C_n \forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}[/mm] endlich.
> ZZ.: [mm]\exists[/mm] U [mm]\in U_f: \forall n_0 \exists n\ge n_0: f_n \not\in[/mm]
> U
> [mm]U:=S_{t,1/2,2}[/mm] mit t [mm]\not\in \bigcup_{n=1}^\infty C_n[/mm] (
> solch ein t existiert da die abzählbare Vereinigung
> endlich vieler Elemente abzählbar ist aber [mm]\mathbb{R}[/mm]
> überabzählbar)
> So ist [mm]S_{t,1/2,3} \in U_f[/mm] da 1/2 [mm]\le[/mm] f(t)=1 [mm]\le[/mm] 2
(Hier sollte es [mm] $S_{t,1/2,2}$ [/mm] sowie $1/2<f(t)=1<2$ heißen. Im Folgenden gilt Analoges.)
> Aber
für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt
> [mm]f_n \not\in S_{t,1/2,3}[/mm] da 1/2 [mm]\le[/mm] 0 [mm]\le[/mm] 2 falsch
> ist.
(Erwähnen würde ich hier noch [mm] $f_n(t)=0$ [/mm] nach Wahl von t.)
(Gegeben [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] leistet also z.B. [mm] $n:=n_0$ [/mm] das Gewünschte.)
Fazit: Alles Super!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:22 Fr 25.09.2015 | | Autor: | sissile |
> > Mir fällt das total schwer!
> Mein Eindruck ist, dass du gut dabei bist!
Trotzdem fällt es mir schwer und dauert ewig lange bis der der Beweis steht.
Noch eine Frage:
Ist [mm] (\mathcal{F}, \tau) [/mm] AA1(also erfüllt es das erste Abzählbatkeitsaxiom)?
Sei f [mm] \in \mathcal{F} [/mm] mit f(x)=1 [mm] \forall x\in \mathbb{R} [/mm] und [mm] W_f [/mm] eine Umgebungsbasis von f.
Angenommen [mm] W_f [/mm] ist abzählbar dann kann o.B.d.A. [mm] W_f=\{W_1 \supseteq W_2 \supseteq...\} [/mm] gesetzt werden.
Ich würde gerne, wie du mir das in einen anderen Beweis gezeigt hast eine injektive Abbildung von eine überabzählbaren Menge nach [mm] \mathcal{W}_f [/mm] konstruieren.
f [mm] \in S_{t,-\epsilon+1, 1+\epsilon} \in U_f \forall \epsilon>0, [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
Nach Definition der Umgebungsbasis [mm] \exists n_o: W_{n_0} \subseteq S_{t,-\epsilon+1,\epsilon+1} [/mm] mit [mm] W_{n_0} \in \mathcal{W}_f
[/mm]
d.h. [mm] \exists n_0 [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: W_n \subseteq S_{t,-\epsilon+1,\epsilon+1} [/mm] wegen der Schachtelung der Umgebungsbasis-Elemente.
Ich hatte an eine Funktion [mm] \phi: (\mathbb{R}, \mathbb{R}_{>0}) \Rightarrow \mathcal{W}_f [/mm] gedacht mit [mm] (t,\epsilon) \mapsto W_{n_0} [/mm]
Aber die Injektivität ist glaube ich nicht erfüllt?
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:11 Mo 28.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Mo 28.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für meine verspätete Reaktion!
> > > Mir fällt das total schwer!
> > Mein Eindruck ist, dass du gut dabei bist!
> Trotzdem fällt es mir schwer und dauert ewig lange bis
> der der Beweis steht.
Ich schreibe die Beweise auch nicht "mal eben schnell runter".
Mehr Routine wirst du mit weiterer Übung erlangen.
> Noch eine Frage:
> Ist [mm](\mathcal{F}, \tau)[/mm] AA1(also erfüllt es das erste
> Abzählbatkeitsaxiom)?
Nein.
> Sei f [mm]\in \mathcal{F}[/mm] mit f(x)=1 [mm]\forall x\in \mathbb{R}[/mm]
> und [mm]W_f[/mm] eine Umgebungsbasis von f.
Guter Start.
> Angenommen [mm]W_f[/mm] ist abzählbar dann kann o.B.d.A. [mm]W_f=\{W_1 \supseteq W_2 \supseteq...\}[/mm]
> gesetzt werden.
Ja.
> Ich würde gerne, wie du mir das in einen anderen Beweis
> gezeigt hast eine injektive Abbildung von eine
> überabzählbaren Menge nach [mm]\mathcal{W}_f[/mm] konstruieren.
An sich eine gute Idee.
Leider scheint sie hier nicht in sinnvoller Weise zum Erfolg zu führen.
> f [mm]\in S_{t,-\epsilon+1, 1+\epsilon} \in U_f \forall \epsilon>0,[/mm]
> t [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> Nach Definition der Umgebungsbasis
> [mm]\exists n_o: W_{n_0} \subseteq S_{t,-\epsilon+1,\epsilon+1}[/mm]
> mit [mm]W_{n_0} \in \mathcal{W}_f[/mm]
> d.h. [mm]\exists n_0[/mm] : [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\ge n_0: W_n \subseteq S_{t,-\epsilon+1,\epsilon+1}[/mm] wegen
> der Schachtelung der Umgebungsbasis-Elemente.
Ja.
> Ich hatte an eine Funktion [mm]\phi: (\mathbb{R}, \mathbb{R}_{>0}) \Rightarrow \mathcal{W}_f[/mm]
> gedacht mit [mm](t,\epsilon) \mapsto W_{n_0}[/mm]
> Aber die Injektivität ist glaube ich nicht erfüllt?
Genau darin liegt leider das Problem.
Folgende (hier noch unpräzise formulierte) Idee führt zum Erfolg:
In einer abzählbaren Umgebungsbasis sind nur abzählbar viele "t's vertreten".
Eine passende Umgebung von f "zu einem anderen t" wird von der Umgebungsbasis "nicht erfasst".
Präzisierung der Idee:
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt
[mm] $W_n\supseteq\bigcap_{i=1}^{k_n}S_{t_{i,n},a_{i,n},b_{i,n}}\ni [/mm] f$
für gewisse [mm] $k_n\in\IN$ [/mm] und [mm] $t_{i,n},a_{i,n},b_{i,n}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a_{i,n}\le b_{i,n}$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots,k_n$.
[/mm]
Überlege dir, dass die Menge
[mm] $T:=\{t_{i,n}\;|\;n\in\IN,i\in\{1,\ldots,k_n\}\}$
[/mm]
abzählbar ist.
Wegen der Überabzählbarkeit von [mm] $\IR$ [/mm] existiert somit ein [mm] $t\in\IR\setminus [/mm] T$.
Nun ist [mm] $S_{t,0,2}$ [/mm] eine Umgebung von f, also existiert ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $W_n\subseteq S_{t,0,2}$.
[/mm]
Überlege dir, dass die Funktion
[mm] $g\colon\IR\to\IR,\quad g(x):=\begin{cases}0,&\text{falls }x=t\\1,&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Element von [mm] $W_n$, [/mm] jedoch kein Element von [mm] $S_{t,0,2}$ [/mm] ist.
Dies widerspricht jedoch [mm] $W_n\subseteq S_{t,0,2}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Fr 02.10.2015 | | Autor: | sissile |
Entschuldige meine späte Antwort. Aber es war einfach keine Zeit für das Beispiel.
> Überlege dir, dass die Menge
>
> [mm]T:=\{t_{i,n}\;|\;n\in\IN,i\in\{1,\ldots,k_n\}\}[/mm]
>
> abzählbar ist.
Als Vereinigung abzählbar vieler (n [mm] \in \mathbb{N}) [/mm] Mengen, die insbesondere endlich [mm] (1,..,k_n) [/mm] also auch abzählbar sind.
> Wegen der Überabzählbarkeit von [mm]\IR[/mm] existiert somit ein
> [mm]t\in\IR\setminus T[/mm].
>
> Nun ist [mm]S_{t,0,2}[/mm] eine Umgebung von f, also existiert ein
> [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]W_n\subseteq S_{t,0,2}[/mm].
>
> Überlege dir, dass die Funktion
>
> [mm]g\colon\IR\to\IR,\quad g(x):=\begin{cases}0,&\text{falls }x=t\\1,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> Element von [mm]W_n[/mm], jedoch kein Element von [mm]S_{t,0,2}[/mm] ist.
>
> Dies widerspricht jedoch [mm]W_n\subseteq S_{t,0,2}[/mm].
Da für n : [mm] a_{i_n} \le [/mm] 1 [mm] \le b_{i_n} \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,k_n\} [/mm] gilt folgt [mm] a_{i_n} \le [/mm] g(x)=1 [mm] \le b_{i_n} \forall x\not=t. [/mm] Insbesondere also für [mm] x\in \{t_{1n},...t_{k_n n}\} [/mm] da t [mm] \in \mathbb{R} \setminus [/mm] T [mm] \subseteq \mathbb{R} \setminus \{t_{1n},...t_{k_n n}\} [/mm] ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \in \bigcap_{i=1}^{k_n}S_{t_{i,n},a_{i,n},b_{i,n}}\subseteq W_n
[/mm]
Auf diese geniale sowie einfache Konstruktion muss man erstmal draufkommen. Toll!
Vielen Dank,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Fr 02.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Entschuldige meine späte Antwort. Aber es war einfach
> keine Zeit für das Beispiel.
Kein Problem.
> > Überlege dir, dass die Menge
> >
> > [mm]T:=\{t_{i,n}\;|\;n\in\IN,i\in\{1,\ldots,k_n\}\}[/mm]
> >
> > abzählbar ist.
> Als Vereinigung abzählbar vieler (n [mm]\in \mathbb{N})[/mm]
> Mengen, die insbesondere endlich [mm](1,..,k_n)[/mm] also auch
> abzählbar sind.
>
> > Wegen der Überabzählbarkeit von [mm]\IR[/mm] existiert somit ein
> > [mm]t\in\IR\setminus T[/mm].
> >
> > Nun ist [mm]S_{t,0,2}[/mm] eine Umgebung von f, also existiert ein
> > [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]W_n\subseteq S_{t,0,2}[/mm].
> >
> > Überlege dir, dass die Funktion
> >
> > [mm]g\colon\IR\to\IR,\quad g(x):=\begin{cases}0,&\text{falls }x=t\\1,&\text{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> >
> > Element von [mm]W_n[/mm], jedoch kein Element von [mm]S_{t,0,2}[/mm] ist.
> >
> > Dies widerspricht jedoch [mm]W_n\subseteq S_{t,0,2}[/mm].
> Da für n : [mm]a_{i_n} \le[/mm] 1 [mm]\le b_{i_n} \forall[/mm] i [mm]\in \{1,..,k_n\}[/mm]
> gilt
(wegen [mm] $f\in S_{t_{i,n},a_{i,n},b_{i,n}}$)
[/mm]
> folgt [mm]a_{i_n} \le[/mm] g(x)=1 [mm]\le b_{i_n} \forall x\not=t.[/mm]
> Insbesondere also für [mm]x\in \{t_{1n},...t_{k_n n}\}[/mm] da t
> [mm]\in \mathbb{R} \setminus[/mm] T [mm]\subseteq \mathbb{R} \setminus \{t_{1n},...t_{k_n n}\}[/mm]
> ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\in \bigcap_{i=1}^{k_n}S_{t_{i,n},a_{i,n},b_{i,n}}\subseteq W_n[/mm]
(Die Eigenschaft [mm] $g\notin S_{t,0,2}$ [/mm] hast du nicht explizit gezeigt, aber das könntest du sicherlich auch.)
Also alles in Ordnung!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Klar;)
Nochmals vielen Dank,
sissi
|
|
|
|
