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Forum "Sonstige Transformationen" - Transformation 1.Ordnung
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Transformation 1.Ordnung: Idee/korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 Sa 05.11.2011
Autor: Mathe_001

Aufgabe
Transformieren Sie folgendes Anfangswertproblem in ein System autonomer Differentialgleichungen 1. Ordnung. Stellen Sie das System anschließend in der Form [mm] x^{'}= [/mm] Ax+b dar.

[mm] y_{1}^{''}+y_{2}+y_{3}+t=-1 [/mm]
[mm] y_{1}+y_{2}^{''}+y_{3}+0.75t=0 [/mm]
[mm] -y_{1}^{'}-y_{2}^{'}+y_{3}^{''}=0 [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe ein problem bei der aufg. wenn ich die dgl's einzeln betrachtet in abhängigkeit der neuen zustände ausdrücke, dann hab ich 3 gleichungen 1.ordnung. jetzt ist meine frage wie fasse ich diese in einer großen matrix zusammen. ist der ansatz schon falsch?

[mm] x_{1}=y_{1} [/mm]
[mm] x_{2}=y_{2} [/mm]
[mm] x_{3}=y_{3} [/mm]
[mm] x_{4}=y_{1}^{'} [/mm]
[mm] x_{5}=y_{2}^{'} [/mm]
[mm] x_{6}=y_{3}^{'} [/mm]

sind meine anfangszustände. dann komme ich auf die dgl's :

1.  [mm] x^{'}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}} [/mm]
2.  [mm] x^{'}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}} [/mm]
3.  [mm] x^{'}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}} [/mm]

nun weiß ich nicht wie ich daraus eine matrix mache bzw welche positionen der matrix dadurch belegt werden.


gruß

Mathe_001


        
Bezug
Transformation 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Mathe_001,

> Transformieren Sie folgendes Anfangswertproblem in ein
> System autonomer Differentialgleichungen 1. Ordnung.
> Stellen Sie das System anschließend in der Form [mm]x^{'}=[/mm]
> Ax+b dar.
>  
> [mm]y_{1}^{''}+y_{2}+y_{3}+t=-1[/mm]
>  [mm]y_{1}+y_{2}^{''}+y_{3}+0.75t=0[/mm]
>  [mm]-y_{1}^{'}-y_{2}^{'}+y_{3}^{''}=0[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> ich habe ein problem bei der aufg. wenn ich die dgl's
> einzeln betrachtet in abhängigkeit der neuen zustände
> ausdrücke, dann hab ich 3 gleichungen 1.ordnung. jetzt ist
> meine frage wie fasse ich diese in einer großen matrix
> zusammen. ist der ansatz schon falsch?
>  
> [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
>  [mm]x_{2}=y_{2}[/mm]
>  [mm]x_{3}=y_{3}[/mm]
>  [mm]x_{4}=y_{1}^{'}[/mm]
>  [mm]x_{5}=y_{2}^{'}[/mm]
>  [mm]x_{6}=y_{3}^{'}[/mm]
>  
> sind meine anfangszustände. dann komme ich auf die dgl's
> :
>  
> 1.  [mm]x^{'}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}}[/mm]


Hier hast Du doch stehen:

[mm]\blue{\pmat{x_{1}' \\ x_{4}'}}=\vektor{x_{4} \\ -1-t-x_{2}-x_{3}}[/mm]


>  2.  
> [mm]x^{'}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}}[/mm]


Analog hier:

[mm]\blue{\pmat{x_{2}' \\ x_{5}'}}=\vektor{x_{5} \\ -0.75t-x_{3}-x_{1}}[/mm]


>  3.  
> [mm]x^{'}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}}[/mm]
>


Und auch hier:

[mm]\blue{\pmat{x_{3}' \\ x_{6}'}}=\vektor{x_{6} \\ x_{4}+x_{5}}[/mm]


Ausgeschrieben bedeutet das:

[mm]x_{1}'=x_{4}[/mm]
[mm]x_{2}'=x_{5}[/mm]
[mm]x_{3}'=x_{6}[/mm]
[mm]x_{4}'=-1-t-x_{2}-x_{3}[/mm]
[mm]x_{5}'=-0.75t-x_{1}-x_{3}[/mm]
[mm]x_{6}'= x_{4}+x_{5}[/mm]

Das kannst Du in der Form [mm]x'=Ax+b[/mm]  schreiben,

wobei [mm]x=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6}} \in \IR^{6}[/mm]
sowie A eine konstante 6x6-Matrix und
b ein von t abhängiger Vektor des [mm]\IR^{6}[/mm] ist.


> nun weiß ich nicht wie ich daraus eine matrix mache bzw
> welche positionen der matrix dadurch belegt werden.
>
> gruß
>  
> Mathe_001

>


Gruss
MathePower  

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