www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Transformation von Integralen
Transformation von Integralen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Transformation von Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Mo 30.01.2006
Autor: madde_dong

Aufgabe
Schreibe das Flächenintegral  [mm] \integral_{x²+y²+z²=1, |z| \le \bruch{1}{2}}^{} {\bruch{|z|}{ \wurzel{x²+y²}} dH²(x,y,z)} [/mm] als L² Integral mittels Parametrisierung durch sphärische Koordinaten.

Ich soll also über den Teil der Einheitssphäre integrieren, für den z zwischen -1/2 und 1/2 liegt. In Polarkoordinaten müsste sich das dann doch auf den Winkel auswirken, oder? Aber wie kriege ich das Integral jetzt in Polarform? Und vor allem noch vom Hausdorff zum Lebesgue-Maß! Bitte helft mir, ich weiß nicht weiter!

        
Bezug
Transformation von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Di 31.01.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo madde_dong,

ich würde folgendermaßen vorgehen: parametrisiere zunächst die ganze einheitssphäre über sphärische koordinaten und überlege dann, wie sich die einschränkung auf $z$ auf den einen der winkel auswirkt, als beispiel kannst du dir ja zunächst mal den einheitskreis vorstellen.

Das Hausdorffsche Flächenelement solltest du dann eigentlich klassisch anhand der gramschen determinante bestimmen können. dann noch den integranden transformieren, ausrechnen , fertig! ;-)

Vg
Matthias

Bezug
                
Bezug
Transformation von Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Mi 01.02.2006
Autor: madde_dong

Hallo Matthias,

danke für deine Antwort!
Ich bin jetzt soweit, dass ich gesehen habe, dass der Integrand in sphärischen Koordinaten gerade [mm] cot(\theta) [/mm] sein müsste. Die Kugelbedingung ist dann ja einfach r²=1. Nur beim Winkel bin ich noch nicht ganz sicher. Da [mm] z=r*cos(\theta), [/mm] müsste ja [mm] \bruch{\pi}{3} \le \theta \le 2*\pi-\bruch{\pi}{3} [/mm] sein. Ist das soweit richtig?

Das Hausdorff-Maß bereitet mir allerdings noch Kopfzerbrechen: Ich weiß praktisch nichts darüber, außer, dass es wohl ein Vielfaches des Lebesgue-Maßes ist. Aber was hat das Ganze denn mit einer gramschen Determinante zu tun? Gram-Matrizen kenne ich wohl aus der linearen Algebra, aber nicht aus der Analysis... Wäre also super, wenn du mich da etwas aufklären könntest!

Bezug
                        
Bezug
Transformation von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Do 02.02.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo madde_dong,

so ganz tief drin bin ich in dem thema auch nicht mehr, also sieh es mir nach, dass ich dir nur ein paar grundsätzliche tips gebe:

wenn du die konventionen bei kugelkoordinaten verwendest wie bspw. wikipedia, stimmt deine bedingung an [mm] $\theta$ [/mm] nur fast, denn ich erhalte dort

$ [mm] \bruch{\pi}{3} \le \theta \le \pi-\bruch{\pi}{3}=2/3\cdot\pi [/mm] $

wenn ihr maße von gekrümmten flächen berechnen sollt, müsstet ihr aber eigentlich auch die gramsche determinante gelernt haben. Sie ist das standardmäßige mittel, um flächen von untermannigfaltigkeiten des [mm] $\IR^n$ [/mm] aber auch allgemeiner von riemannschen mannigfaltigkeiten zu bestimmen. Ansonsten surfe doch zu diesem thema ein wenig im netz.

VG
Matthias

Bezug
                                
Bezug
Transformation von Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Mo 06.02.2006
Autor: madde_dong

Hallo,

tut mir leid, dass ich den kalten Kaffe nochmal aufwärmen muss. Ich habe mich weiter mit dieser Aufgabe beschäftigt, aber keine befriedigende Lösung gefunden. Ich bin nur soweit, dass die Transformation der Substitution bei eindimensionalen Integralen entspricht. Aber ich blicke immer noch nicht durch: wenn ich jetzt meine Variablen durch Kugelkoordinaten ersetze, wie verändert sich dann dxdydz? Und was ist diese Gramsche Determinante?
Sorry Leute, dass ich mich so dumm anstelle, aber ich bin dankbar für jede Hilfe!

Bezug
                                        
Bezug
Transformation von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 06.02.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo madde_dong,

schau bspw. mal []hier nach!

Dadurch wirst du die thematik wahrscheinlich noch nicht begreifen, aber du siehst zumindest, wie man ein flächenintegral berechnet.

VG
Matthias

Bezug
                                                
Bezug
Transformation von Integralen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Di 07.02.2006
Autor: madde_dong

Hallo Matthias,

vielen Dank für deinen Hinweis. Das mit der Determinante habe ich jetzt verstanden, auch wenn ich mich bei der Anwendung mit allgemeinen Transformationen noch etwas schwer tu...
Bei Kugelkoordinaten ist die Determinante also [mm] r²sin\theta. [/mm] Mein Integrand wird also zu [mm] r²cos\theta, [/mm] da sich der Kotangens mit dem Sinus kürzt.
Ich bin aber immer noch verunsichert: Ich habe nur ein zweidimensionales Maß. Heißt das nun, dass ich nur über 2 Variablen integriere? Aber über welche, über [mm] \theta [/mm] und r oder [mm] \theta [/mm] und [mm] \phi? [/mm] Außerdem: Was mache ich mit dem Hausdorff-Maß? Oder muss ich da nichts mehr transformieren? Was muss ich mir darunter überhaupt vorstellen?

Bezug
                                                        
Bezug
Transformation von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mi 08.02.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo madde_dong,

die radius-variable $r$ kannst du erstmal vergessen, da sie ja auf der sphäre konstant ist. Also integrierst du über die winkelvariablen.

Da die sphäre ein zweidimensionales geometrisches gebilde ist, ist es doch plausibel nur über zwei variablen zu integrieren, oder?
das hausdorff-maß ist zunächst mal ein theoretisches gebilde, das man in der praxis meist über parametrisierungen bzw. gramsche determinanten ausrechnen muß, genau wie das standard-flächenelement.
das hausdorffsche flächenelement transformiert man also anhand der gramschen determinante in das  übliche lebesguesche volumenmaß.

VG
Matthias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de