Transformationsformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Do 28.08.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | In meinem Skript habe ich die folgende Gleichung gegeben, die ich mittels der Transformationsformel für Gebietsintegrale zur Übung gerne mal ausrechnen würde:
[mm] \displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(s) [mm] \, \mathrm{d}s [/mm] = [mm] \displaystyle \frac{1}{n \alpha(n)} \displaystyle\int\limits_{\partial B(0,1)} [/mm] u(x + rz) [mm] \, \mathrm{d}z.
[/mm]
Wobei
[mm] \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(s) [mm] \, \mathrm{d}s
[/mm]
der Mittelwert von u über die Sphähre [mm] \partial [/mm] B(x,r) mit Radius r>0 und Mittelpunkt x [mm] \in \mathbb{R}^n [/mm] ist. Dabei ist [mm] \alpha(n) [/mm] das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel. |
Hallo! :)
Wie oben schon beschrieben würde ich gerne die Trafo. richtig anwenden, bekomme aber immer einen kleinen Fehler dabei rein. Also:
Batrachte den Diffeomorphismus [mm] \phi:\partial [/mm] B(0,1) [mm] \rightarrow \partial [/mm] B(x,r) mit z [mm] \mapsto [/mm] x + rz. Die Funktionaldeterminante ist gegeben durch
|det [mm] J_{\phi}(z)| [/mm] = [mm] \begin{vmatrix}
r & & 0 \\
& ... & & \\
0 & & r
\end{vmatrix}= r^n.
[/mm]
Wende nun die Transformationsformel für Gebietsintegrale an
[mm] \displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(s) [mm] \, \mathrm{d}s =\displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(s) [mm] \, \mathrm{d}s
[/mm]
[mm] \overset{Trafo}{=}\displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\phi^{-1}(\partial B(x,r))} u(\phi(z)) \cdot [/mm] |det [mm] J_{\phi}(z)| \, \mathrm{d}z
[/mm]
[mm] =\displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(0,1)} [/mm] u(x + rz) [mm] \cdot r^n \, \mathrm{d}z
[/mm]
[mm] =\displaystyle \frac{r}{n \alpha(n)} \int\limits_{\partial B(0,1)} [/mm] u(x + rz) [mm] \, \mathrm{d}z
[/mm]
und hier ist halt ein "r" zu viel dabei...ich mache irgendwas falsch, nur was?
Vielen Dank schon mal, falls sich das hier jemand durchliest!!!
Viele Grüße,
Orchis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Fr 29.08.2014 | | Autor: | fred97 |
In der Gleichung
$ [mm] \displaystyle \frac{1}{n \alpha(n) r^{n-1}} \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] $ u(s) $ [mm] \, \mathrm{d}s [/mm] $ = $ [mm] \displaystyle \frac{1}{n \alpha(n)} \displaystyle\int\limits_{\partial B(0,1)} [/mm] $ u(x + rz) $ [mm] \, \mathrm{d}z [/mm] $
stehen rechts und links keine Gebietsintegrale sondern Oberflächenintegrale !!
Dein Fehler war also: Du wendest einen Satz für Gebietsintegrale auf Oberflächenintegrale an. Das kann nicht gutgehen !
Wären es Gebietsintegrale, so wäre obige Gleichung trivial, denn [mm] \partial [/mm] B(x,r) und [mm] \partial [/mm] B(0,1) sind Nullmengen im [mm] \IR^n [/mm] und damit sind beide Integrale =0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Orchis |
Ahhh, ok. Dann weiß ich nur nicht, wie man die Gleichheit denn nun zeigt. Hat jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mo 01.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ahhh, ok. Dann weiß ich nur nicht, wie man die Gleichheit
> denn nun zeigt. Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielleicht solltest Du die Def. des Oberflächenintegrals heranziehen .....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Orchis |
Zunächst ist ja [mm] {\partial B(x,r)} [/mm] eine Untermannigfaltigkeit des [mm] R^n. [/mm] Eine Parametrisierung ist gegeben durch
[mm] \varphi: {\partial B(0,1)} \rightarrow {\partial B(x,r)}
[/mm]
z [mm] \mapsto [/mm] x + rz für festes r>0.
Es gilt nun die Integrationsformel für Mannigfaltigkeiten:
[mm] \displaystyle \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(y) [mm] \, \mathrm{d}S(y) [/mm] = [mm] \displaystyle \int\limits_{\partial B(0,1)} u(\varphi(z)) \cdot \sqrt{g^{\varphi}(z)} \, \mathrm{d}S(z)
[/mm]
Die Jakobi-Matrix ist gegeben durch
[mm] J_{\varphi}(z)=\begin{bmatrix}
r & & 0 \\& ... & & \\0 & & r \end{bmatrix} [/mm] und damit die Gramsche Determinante durch [mm] g^{\varphi}(z) [/mm] = [mm] det(J_{\varphi}(z)^{T} \cdot J_{\varphi}(z))
[/mm]
= [mm] r^{2n}
[/mm]
Eingesetzt in die Formel:
[mm] \displaystyle \int\limits_{\partial B(x,r)} [/mm] u(y) [mm] \, \mathrm{d}S(y) [/mm] = [mm] \displaystyle \int\limits_{\partial B(0,1)} [/mm] u(x + rz) [mm] \cdot r^n \, \mathrm{d}S(z).
[/mm]
Erneut bleibt genau ein "r" zu viel stehen. Weiß jemand Rat?
Vielen Dank schon mal!
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Der Rand der Kugel hat eine Dimension weniger als der umgebende Raum. Die Parameterdarstellung hängt daher nur von [mm]n-1[/mm] Variablen ab. Daher ist die Gramsche Matrix [mm](n-1)[/mm]-reihig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Orchis |
Super, stimmt ja! Danke für die Erklärung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Orchis |
Entschuldige, aber ich muss da nochmal kurz fragen: Welche n-1 Variablen sind denn jetzt genau relevant? Der Gedanke hinter der Parametrisierung ist ja nun, dass man ein Translation um x [mm] \in R^n [/mm] vornimmt und die Einheitskugel um diesen Punkt dann um Radius r>0 "aufbläht". Dabei sind ja sowohl x, als auch z Punkte im [mm] R^n. [/mm] Wenn [mm] \varphi: {\partial B(0,1)}\mapsto {\partial B(x,r)} [/mm] mit z [mm] \rightarrow [/mm] x + rz also die Parametrisierung der Sphäre sein soll, dann hat der Vektor x + rz doch genau n Spalten...es kommt daher doch auch eine n-dimensionale Gramsche Matrix raus...
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Ich schreibe [mm]t = (t_1,t_2,\ldots,t_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1}[/mm]. Ferner seien [mm]x,y,z \in \mathbb{R}^n[/mm] und [mm]r \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]r>0[/mm]. Wenn nun
[mm]z = \varphi(t) \, , \ t \in A[/mm]
eine Parametrisierung des Randes der Einheitskugel ist, dann ist
[mm]y = \psi(t) = x + r \cdot \varphi(t) \, , \ t \in A[/mm]
eine Parametrisierung des Randes der Kugel mit Mittelpunkt [mm]x[/mm] und Radius [mm]r[/mm]. Die Parametrisierungen [mm]\varphi, \psi[/mm] bestehen aus [mm]n[/mm] Komponentenfunktionen, folglich auch ihre Ableitungen nach einer der Variablen [mm]t_j[/mm]. Offenbar gilt:
[mm]\frac{\partial \psi}{\partial t_j} = r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t_j} \, , \ 1 \leq j \leq n-1 \ \text{(!!!)}[/mm]
Die Gramschen Matrizen von [mm]\varphi[/mm] und [mm]\psi[/mm] sind [mm]G = \left( g_{ij} \right)[/mm] und [mm]H = \left( h_{ij} \right)[/mm] mit [mm]1 \leq i,j \leq n-1 \ \text{(!!!)}[/mm] und
[mm]g_{ij} = \left \langle \frac{\partial \varphi}{\partial t_i} \, , \, \frac{\partial \varphi}{\partial t_j} \right \rangle \, , \ \ h_{ij} = \left \langle \frac{\partial \psi}{\partial t_i} \, , \, \frac{\partial \psi}{\partial t_j} \right \rangle = \left \langle r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t_i} \, , \, r \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial t_j} \right \rangle = r^2 \left \langle \frac{\partial \varphi}{\partial t_i} \, , \, \frac{\partial \varphi}{\partial t_j} \right \rangle[/mm]
Somit gilt [mm]H = r^2 G[/mm] und für die Determinanten:
[mm]|H| = r^{2(n-1)} |G|[/mm]
[mm]\sqrt{|H|} = r^{n-1} \sqrt{|G|}[/mm]
Jetzt erklären sich auch die Oberflächenintegrale. Einerseits gilt:
[mm]\int \limits_{\partial B(x,r)} u ~ \mathrm{d}\sigma = \int \limits_A u \left( \psi(t) \right) \cdot \sqrt{|H|} ~ \mathrm{d}t = r^{n-1} \int \limits_A u \left( x + r \cdot \varphi(t) \right) \cdot \sqrt{|G|} ~ \mathrm{d}t[/mm]
Und mit [mm]v(z) = u(x+rz)[/mm] gilt andererseits:
[mm]\int \limits_{\partial B(0,1)} v ~ \mathrm{d}\sigma = \int \limits_A v \left( \varphi(t) \right) \cdot \sqrt{|G|} ~ \mathrm{d}t = \int \limits_A u \left( x + r \cdot \varphi(t) \right) \cdot \sqrt{|G|} ~ \mathrm{d}t[/mm]
Und ein Vergleich zeigt:
[mm]\int \limits_{\partial B(x,r)} u ~ \mathrm{d}\sigma = r^{n-1} \int \limits_{\partial B(0,1)} v ~ \mathrm{d}\sigma[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Di 02.09.2014 | | Autor: | Orchis |
Wow,
ich denke nun habe ich es wirklich verstanden! Klasse, dass du dir Zeit genommen hast, da stand ich wieder ziemlich auf dem Schlauch!!! Ich denke ich werde jetzt noch ein paar Integrale zur Übung lösen. :)
Viele Grüße,
Orchis
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