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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Transformationsmatrix
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Transformationsmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Fr 13.01.2017
Autor: knowhow

Aufgabe
Sei [mm] v_1, v_2 [/mm] eine Basis von V und sei [mm] w_1, w_2 [/mm] eine Basis von W. Man betrachte zwei neue Basen

[mm] v_1':=2v_1+v_2, v_2':=3v_1+v_2 [/mm] und [mm] w_1':=w_1-w_2, w_2':=w_1-2w_2: [/mm]

Bestimmen Sie die Transformationsmatrix des Basiswechsels zwischen den Basen

[mm] v_1\otimes w_1, v_1\otimes w_2, v_2\times w_1, v_2\otimes w_2 [/mm] und [mm] v_1'\otimes w_1', v_1'\otimes w_2', v_2'\otimes w_1', v_2'\otimes w_2' [/mm] vom Tensorprodukt [mm] V\otimes [/mm] W


Guten Abend,

ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe und ich hoffe Ihr könnt mir da einige Tipp dazu geben.

Ich würde erstmal folgendes machen:

[mm] v_1':=2v_1+v_2 [/mm]

[mm] v_2':=3v_1+v_2 [/mm]

[mm] \Rightarrow v_1=-v_1'+v_2' [/mm]
                 [mm] v_2= 3v_1'-2v_2' [/mm]

dann bekommen wir folgende Matrix

[mm] \pmat{-1&1\\3&-2} [/mm]
und

[mm] w_1':=w_1-w_2 [/mm]
[mm] w_2':=w_1-2w_2 [/mm]

[mm] \Rightarrow w_1=2w_1'-w_2' [/mm]
                  [mm] w_2= w_1'-w_2' [/mm]

dann bekommen wir die Matrix

[mm] \pmat{2 &1\\1&-1} [/mm]

Stimmt das bis hier hin? Wie berechne ich die folgende Basen.

Es gilt doch [mm] v_1\otimes w_1=v_1*w_1^T, [/mm] oder?

Dankeschön im Voraus.


        
Bezug
Transformationsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Di 17.01.2017
Autor: huddel


> Sei [mm]v_1, v_2[/mm] eine Basis von V und sei [mm]w_1, w_2[/mm] eine Basis
> von W. Man betrachte zwei neue Basen
>  
> [mm]v_1':=2v_1+v_2, v_2':=3v_1+v_2[/mm] und [mm]w_1':=w_1-w_2, w_2':=w_1-2w_2:[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Transformationsmatrix des Basiswechsels
> zwischen den Basen
>  
> [mm]v_1\otimes w_1, v_1\otimes w_2, v_2\times w_1, v_2\otimes w_2[/mm]
> und [mm]v_1'\otimes w_1', v_1'\otimes w_2', v_2'\otimes w_1', v_2'\otimes w_2'[/mm]
> vom Tensorprodukt [mm]V\otimes[/mm] W

ich denke mal hier hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. das sollten alles [mm] $\otimes$ [/mm] sein, oder?

> Guten Abend,
>  
> ich bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe und ich
> hoffe Ihr könnt mir da einige Tipp dazu geben.
>  
> Ich würde erstmal folgendes machen:
>  
> [mm]v_1':=2v_1+v_2[/mm]
>  
> [mm]v_2':=3v_1+v_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_1=-v_1'+v_2'[/mm]
>                   [mm]v_2= 3v_1'-2v_2'[/mm]

Bis hier sieht's gut aus.

> dann bekommen wir folgende Matrix
>  
> [mm]\pmat{-1&1\\3&-2}[/mm]
>  und

Jetzt ist die Frage, wie eure Konvention ist. Wenn ihr eure Vektoren standardmäßig auch von rechts an eine Matrix multipliziert, dann wird das wohl nicht passen. Beispielrechnung:

wir betrachten den Vektor $v = [mm] 1\cdot v_1 [/mm] + 0 [mm] \cdot v_2$ [/mm] dann sollte nach dem Basiswechsel doch $v = [mm] -v_1'+v_2'$ [/mm] raus kommen.

Jedoch ist [mm] $\pmat{-1&1\\3&-2}\cdot \pmat{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{-1 \\ 3}$ [/mm]

Transponier die Matrix einmal und es kommt auch das raus, was du haben willst :)

> [mm]w_1':=w_1-w_2[/mm]
>  [mm]w_2':=w_1-2w_2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow w_1=2w_1'-w_2'[/mm]
>                    [mm]w_2= w_1'-w_2'[/mm]
>  
> dann bekommen wir die Matrix
>  
> [mm]\pmat{2 &1\\1&-1}[/mm]

Hier fehlt irgendwo ein Minus, ansonsten sieht's gut aus. Pass hier wieder auf, dass du die Matrix nicht transponiert berechnest ;)

> Stimmt das bis hier hin? Wie berechne ich die folgende
> Basen.

>

> Es gilt doch [mm]v_1\otimes w_1=v_1*w_1^T,[/mm] oder?

öhm, der Ausdruck [mm] $v_1 \cdot w_1^T$ [/mm] muss nichtmal definiert sein. Betrachte z.B. Funktionenräume als Vektorraum. Was bedeutet da das $T$?

Wir machen das erstmal etwas allgemeiner:

Seien [mm] $B_V [/mm] = [mm] \{v_1,\dotso,v_n\}$ [/mm] eine Basis eines Vektorraums $V$ und [mm] $B_W [/mm] = [mm] \{w_1,\dotso,w_m\}$eine [/mm] Basis eines Vektorraums $W$

Sei $v = [mm] \sum_{i=1}^n a_i\cdot v_i$ [/mm] und $w = [mm] \sum_{j=1}^m b_j\cdot w_j$ [/mm]

Dann wird [mm] $v\otimes [/mm] w = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i\cdot b_j \cdot v_i\otimes w_j$ [/mm]

Damit kannst du die [mm] $v_1'\otimes w_1', v_1'\otimes w_2', v_2'\otimes w_1', v_2'\otimes w_2'$ [/mm] mal ausrechnen.

Wenn du das hast bekommst du die Basiswechsel auch hin.

Dazu noch ganz kurz: Der wegen, den du oben genommen hast ist eine Möglichkeit. Ich mach es ganz gern etwas ander, oder finde es so einfacher.
Wir betrachten noch einmal das gleiche Beispiel wie oben

[mm] $v_1':=2v_1+v_2$ [/mm]

[mm] $v_2':=3v_1+v_2$ [/mm]

$B = [mm] \{v_1,v_2\}$ [/mm] und $B' = [mm] \{v_1', v_2'\}$ [/mm] dann lässt sich daraus schon die Basiswechsel-Matrix [mm] $T^{B'}_B$ [/mm] berechnen, die Vektoren, dargestellt in der Basis $B'$ auf den gleichen Vektor in der Basis $B$ dargestellt "schickt"

[mm] $T^{B'}_B [/mm] = [mm] \pmat{2 & 3 \\ 1 & 1}$ [/mm]

Weiter gilt nun [mm] $T^{B'}_B \cdot T^B_{B'} [/mm] = [mm] T^B_{B'} \cdot T^{B'}_B [/mm]  = Id$ und damit [mm] $T^B_{B'} [/mm] = [mm] T^{B'}_B^{-1}$ [/mm]

Damit darfst du  mir jetzt sagen, wie die Basiswechsel im Tensorprodukt aussieht

> Dankeschön im Voraus.


LG
der Huddel


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