www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Mengenlehre" - Transitive Relationen
Transitive Relationen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Transitive Relationen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:09 Sa 11.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Aufgabe
Es sei M eine Menge und [mm]S \subseteq M \times M[/mm] transitiv.
Zeigen Sie: Falls für die drei Elemente [mm]x, y, z \in M[/mm] gilt:

[mm]\{(x, y), (x, z), (y, z)\} \cap (\overline{S \cup S^-}) = \{(x, y)\},[/mm]

dann gilt:

[mm](\{(x, z), (y, z)\} \cap S = \emptyset) \vee (\{(x, z), (y, z)\} \cap S^- = \emptyset)[/mm]

Zu meinem Problem: Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen soll.

Grundsätzlich ist [mm](\overline{S \cup S^-})[/mm] mein Problem. Die Menge enthält (x, y), aber kein (x, z) oder (y, z).
Wenn ich versuche es umzuwandeln komme ich auf [mm](M \times M) \backslash (S \cup S^-)[/mm].
Mit [mm]S^-[/mm] kann ich auch nicht wirklich etwas anfangen. Klar, das ist das Inverse also [mm](b, a) \in S^-[/mm] sofern [mm](a, b) \in S[/mm].

Dann müsste [mm](S \cup S^-)[/mm] prinzipiell (x, z), (z, x), (y, z) und (z, y) enthalten, Damit die im Komplement dann rausfallen und (x, y) reinkommt. Das kann aber eigentlich nicht passieren, da ja y rausfliegt. (oder vielleicht nur z rauswerfen, damit dann x und y wieder reinkommen?)

Die Sache, die meiner Meinung nach überflüssig ist, ist die Information, dass die Menge transitiv ist. Aber da die Information gegeben ist und scheint sie wohl wichtig zu sein.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Transitive Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Sa 11.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Es sei M eine Menge und [mm]S \subseteq M \times M[/mm] transitiv.
>  Zeigen Sie: Falls für die drei Elemente [mm]x, y, z \in M[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]\{(x, y), (x, z), (y, z)\} \cap (\overline{S \cup S^-}) = \{(x, y)\},[/mm]
>  
> dann gilt:
>  
> [mm](\{(x, z), (y, z)\} \cap S = \emptyset) \vee (\{(x, z), (y, z)\} \cap S^- = \emptyset)[/mm]
>  

Hallo,

[willkommenmr].

> Zu meinem Problem: Ich habe keine Ahnung wie ich anfangen
> soll.

Du hast doch schon angefangen!
Das Sortieren der Zutaten ist ein guter Beginn, finde ich.

>  
> Grundsätzlich ist [mm](\overline{S \cup S^-})[/mm] mein Problem.

Diese Menge enthält alle Paare, die nicht in der Relation S oder in der Umkehrrelation sind.

> Die Menge enthält (x, y), aber kein (x, z) oder (y, z).
>  Wenn ich versuche es umzuwandeln komme ich auf [mm](M \times M) \backslash (S \cup S^-)[/mm].

Ja.

>  
> Mit [mm]S^-[/mm] kann ich auch nicht wirklich etwas anfangen. Klar,
> das ist das Inverse also [mm](b, a) \in S^-[/mm] sofern [mm](a, b) \in S[/mm].

Also kannst Du doch etwas damit anfangen.

Wir wissen also, daß (x,y) weder in S noch in S^- ist.

Und da (x,z),(y,z) nicht in [mm] \overline{S \cup S^-} [/mm] sind, müssen sie in S [mm] \cup [/mm] S^- sein, also in S oder [mm] S^{-} [/mm]

>  
> Dann müsste [mm](S \cup S^-)[/mm] prinzipiell (x, z), (z, x), (y,
> z) und (z, y) enthalten, Damit die im Komplement dann
> rausfallen und (x, y) reinkommt.

Dem kann ich gerade nicht gut folgen.
Bleiben wir lieber bei dem, was wir sicher wissen:

(x,y) ist nicht in [mm] S\cup [/mm] S^-, und (x,z),(y,z) sind in [mm] S\cup [/mm] S^-.

Das ist zusammen mit der Transitivität vorausgesetzt, und nun sollen wir zeigen, daß
daß (x,z),(y,z) beide nicht in S oder beide nicht in S^- liegen.

Man kann es mit einem Widerspruch versuchen:

Angenommen, es wären  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- beide nichtleer.

Sei etwa (x,z) [mm] \in [/mm] S.
Nach Voraussetzung ist (y,z) in S oder in S^-.

Nun kannst Du die Fälle durchspielen.

i. Seien (x,z) und (y,z) beide in S.
Nach Annahme ist [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- nichtleer,
sei etwa [mm] (x,z)\in [/mm] S^-.

Nun ziehe Schlüsse und finde einen Widerspruch

ii. Sei [mm] (x,z)\in [/mm] S, (y,z) [mm] \not\in [/mm] S.
Dann ist [mm] (y,z)\in [/mm]  usw.

Versuch's!

LG Angela










> Das kann aber eigentlich
> nicht passieren, da ja y rausfliegt. (oder vielleicht nur z
> rauswerfen, damit dann x und y wieder reinkommen?)
>  
> Die Sache, die meiner Meinung nach überflüssig ist, ist
> die Information, dass die Menge transitiv ist. Aber da die
> Information gegeben ist und scheint sie wohl wichtig zu
> sein.
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Transitive Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Sa 11.11.2017
Autor: TrickyDinkle


> Angenommen, es wären  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- beide nichtleer.

Wenn beide nicht leer sind wäre das kein Widerspruch. Den gäbe es nur wenn beide leer sind. [mm](\{(x, z), (y, z)\} \cap S = \emptyset) \vee (\{(x, z), (y, z)\} \cap S^- = \emptyset)[/mm]

[mm]Aussage \vee \overline{Aussage}[/mm] ist immer wahr.

Wenn [mm](a,b) \in S[/mm] dann [mm](a,b) \notin S^-[/mm] (unter der Annahme a [mm] \not= [/mm] b)

Bezug
                        
Bezug
Transitive Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Sa 11.11.2017
Autor: angela.h.b.


> > Angenommen, es wären  [mm]\{(x, z), (y, z)\} \cap[/mm] S  und [mm]\{(x, z), (y, z)\} \cap[/mm]
> S^- beide nichtleer.
>
> Wenn beide nicht leer sind wäre das kein Widerspruch. Den
> gäbe es nur wenn beide leer sind. [mm](\{(x, z), (y, z)\} \cap S = \emptyset) \vee (\{(x, z), (y, z)\} \cap S^- = \emptyset)[/mm]

???

Du sollst zeigen, daß mindestens eine von beiden leer ist.


>  
> [mm]Aussage \vee \overline{Aussage}[/mm] ist immer wahr (unter der
> Annahme x [mm]\not=[/mm] z)

Worum geht es?

S ist eine transitive Relation und es gilt
$ [mm] \{(x, y), (x, z), (y, z)\} \cap (\overline{S \cup S^-}) [/mm] = [mm] \{(x, y)\}. [/mm] $

Das ist Deine Voraussetzung.

Zeigen sollst Du nun, daß unter dieser Voraussetzung mindestens eine der Mengen [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  oder [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^-  leer ist.

Mein Vorschlag war, einen Beweis durch Widerspruch zu führen, indem man annimmt (!), daß diese beiden Mengen nicht leer sind und dann zeigt, daß dies nicht sein kann.
Wenn es nicht sein kann, daß beide Mengen ein Element enthalten, dann muß ist folglich eine der Mengen leer sein.

Aus der Voraussetzung folgte ja, daß (x,z) und (y,z) in [mm] S\cup S^{-} [/mm] sind.

1. Möglichkeit
beide in S.
Kann es sein, daß eines der Paare auch in [mm] S^{-} [/mm] ist?

2. Möglichkeit
nur ein Paar in S.
Dann muß das andere in [mm] S^{-}sein. [/mm]
Kann das sein?

LG Angela

Bezug
                        
Bezug
Transitive Relationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Sa 11.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Ich kann meinen vorherigen Artikel leider nicht editieren, da irgendein Bearbeitungskonflikt besteht.

Ich bin jetzt soweit:

[mm](x,z) \in S \wedge (y,z) \in S \Rightarrow (\{(x,z),(y,z)\} = \emptyset) \vee (\emptyset = \emptyset)[/mm]. Diese Aussage ist wahr.

[mm](x,z) \in S \wedge (y,z) \in S^- \Rightarrow (\{(x,z)\} = \emptyset) \vee (\{(y,z)\} = \emptyset)[/mm]. Diese Aussage ist offensichtlich falsch.

Die beiden Umkehrfälle analog.

Daraus kann ich dann irgendwie nichts sinnvolles mehr folgern.

Bezug
                                
Bezug
Transitive Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 11.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Vorgabe ist ja eine transitive Relation, also wenn $(x,y),(y,z) [mm] \in [/mm] S$, dann $(x,z) [mm] \in [/mm] S$.

Wir wissen aber schon, dass $(x,y) [mm] \notin [/mm] S [mm] \cup [/mm] S^-$ da $(x,y) [mm] \in \overline{S \cup S^-}$ [/mm]

Deshalb kann ich auch eigentlich nicht folgern, ob $(x,z) [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] S$ oder $(x,z) [mm] \in [/mm] S [mm] \wedge [/mm] (y,z) [mm] \in [/mm] S^-$ vorliegen kann oder nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Transitive Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Sa 11.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Vorgabe ist ja eine transitive Relation, also wenn
> [mm](x,y),(y,z) \in S[/mm], dann [mm](x,z) \in S[/mm].

Ja.

>  
> Wir wissen aber schon, dass [mm](x,y) \notin S \cup S^-[/mm] da
> [mm](x,y) \in \overline{S \cup S^-}[/mm]

Richtig. Und dies ist für den zu führenden Beweis von großer Bedeutung.

>  
> Deshalb kann ich auch eigentlich nicht folgern, ob [mm](x,z) \in S \wedge (y,z) \in S[/mm]
> oder [mm](x,z) \in S \wedge (y,z) \in S^-[/mm] vorliegen kann oder
> nicht.

Du hast etwas nicht richtig verstanden.
Ob [mm] (x,z)\in [/mm] S ist, habe ich nicht gefolgert!
Ich habe es einfach angenommen.

Ich skizziere Dir nochmal kurz den Weg meiner Gedanken:

Wir haben eine Aussage, aus welcher folgt, daß eine von zwei Mengen  A und B leer ist.
Dies möchten wir beweisen.

Die Idee:
Ich nehme an, daß die zu zeigende Folgerung nicht stimmt,
und zeige, daß dies zu einem Widerspruch zur Voraussetzung führt.
Also kann es nicht sein, daß die Folgerung nicht stimmt.
Also stimmt sie.

Nochmal.

Voraussetzung:
    $ [mm] \{(x, y), (x, z), (y, z)\} \cap (\overline{S \cup S^-}) [/mm] = [mm] \{(x, y)\}, [/mm] $

zu zeigen:
    Dann gilt
    $ [mm] (\{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S = [mm] \emptyset) \vee (\{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- = [mm] \emptyset) [/mm] $

Beweis:

Sei [mm] \{(x, y), (x, z), (y, z)\} \cap (\overline{S \cup S^-}) [/mm] = [mm] \{(x, y)\}. [/mm]
Dann ist (x,y) weder in S noch in [mm] S^{-}, [/mm]
(x,z) ist in S oder [mm] S^{-}, [/mm]
(y,z) ist in S oder [mm] S^{-}. [/mm]

Angenommen, beide der Mengen [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- würden ein Element enthalten.

Es müßte dann sein

i.  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z)\} [/mm] und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- nichtleer
oder
i'.   [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(y,z)\} [/mm] und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- nichtleer
oder
ii.   [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z),(y,z)\} [/mm] und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^- nichtleer

Hast Du bis hierher folgen können?

Jetzt untersuche ich die drei Fälle:

i. [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z)\} [/mm]
==> [mm] (y,z)\in S^{-}. [/mm] (Warum?)
==> [mm] (z,y)\in [/mm] S  (Warum?)
==> [mm] (x,y)\in [/mm] S (Warum)
(x,y) ist aber nach Voraussetzung nicht in S. Widerspruch.
Also kann dieser Fall nicht eintreten.

i'. Für Dich.

ii. [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z),(y,z)\} [/mm]

Wenn  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap S^-\not=\emptyset, [/mm] ist (x,z) oder (y,z) ind dieser Menge.

a. Angenommen, (x,z) wäre drin.
Dann ist [mm] (x,z)\in S^{-}, [/mm] also ... ... ...

b. Angenommen (y,z) wäre drin. Dann ... ... ...

Die Annahme, daß beide Mengen  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^-  ein Element enthalten, führt zum Widerspruch.
Also ist eine der beiden Mengen  [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S  und [mm] \{(x, z), (y, z)\} \cap [/mm] S^-  leer.

LG Angela







Bezug
                                                
Bezug
Transitive Relationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Sa 11.11.2017
Autor: TrickyDinkle


> Hast Du bis hierher folgen können?

Ja

> Jetzt untersuche ich die drei Fälle:
>  
> i. [mm]\{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z)\}[/mm]
>  ==> [mm](y,z)\in S^{-}.[/mm]

> (Warum?)

Wäre (y,z) in S, läge es auch im Schnitt.

>  ==> [mm](z,y)\in[/mm] S  (Warum?)

Wenn $(x,y) [mm] \in [/mm] S^-$, dann $(y,x) [mm] \in [/mm] S$ laut Definition. Aber was bringt mir diese Information hier?

>  ==> [mm](x,y)\in[/mm] S (Warum)

Meiner Meinung nach gibt es keine Informationen über (x,y) an dieser Stelle. Wodurch würde denn impliziert, dass $(x,y) [mm] \in [/mm] S$ ?


Bezug
                                                        
Bezug
Transitive Relationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Sa 11.11.2017
Autor: angela.h.b.


> > Hast Du bis hierher folgen können?
>  Ja

Sehr gut!

>  
> > Jetzt untersuche ich die drei Fälle:
>  >  
> > i. [mm]\{(x, z), (y, z)\} \cap S=\{(x,z)\}[/mm]
>  >  ==> [mm](y,z)\in S^{-}.[/mm]

> > (Warum?)
>  Wäre (y,z) in S, läge es auch im Schnitt.

Nach Voraussetzung ist es in S oder [mm] S^{-}, [/mm] und wenn's wie hier nicht in S ist, dann also in [mm] S^{-}. [/mm]
Man muß sich hier auf die Folgerungen aus der Voraussetzung berufen.

>  
> >  ==> [mm](z,y)\in[/mm] S  (Warum?)

>  Wenn [mm](x,y) \in S^-[/mm], dann [mm](y,x) \in S[/mm] laut Definition.

Genau.

> Aber
> was bringt mir diese Information hier?

"Bringen" tut sie nichts, aber Du kannst sie nutzen...
Du hast jetzt [mm] (x,z)\in [/mm] S und [mm] (z,y)\in [/mm] S.

>  
> >  ==> [mm](x,y)\in[/mm] S (Warum)

>  Meiner Meinung nach gibt es keine Informationen über
> (x,y) an dieser Stelle. Wodurch würde denn impliziert,
> dass [mm](x,y) \in S[/mm] ?

Tja, das ist die große Frage... Was weißt Du denn über die Relation S???

LG Angela

>  


Bezug
                                                                
Bezug
Transitive Relationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 So 12.11.2017
Autor: TrickyDinkle

Ah, jetzt ist es mir das klar geworden. Hatte die ganze Zeit versucht die transitive Eigenschaft an irgendwelchen Stellen zu prüfen die mir nichts brachten. Danke.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 52m 4. Diophant
UStoc/Geordnete Stichproben mit Wdh.
Status vor 1h 14m 60. Diophant
MSons/Kann man beim Roulette verlier
Status vor 1h 19m 7. matux MR Agent
Algebra/Integritätsbereich Polynomring
Status vor 4h 19m 3. matux MR Agent
Logik/Reduktion
Status vor 7h 04m 4. fred97
ULinAAb/Permutationsgr./ Transposition
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de