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Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Fr 25.05.2007
Autor: cutter

Aufgabe
Seien [mm] \mu_1 ,\mu_2 ,\mu_3 [/mm] drei Maße auf [mm] (\Omega,\mathcal{A}) [/mm]
mit [mm] \mu_1 [/mm] << [mm] \mu_2 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] << [mm] \mu_3. [/mm]
ZZ: [mm] \mu_1 [/mm] << [mm] \mu_3 [/mm]

Hi...
erste Frage: was ist << fuer ein Zeichen ?;) oder ein Schreibfehler?.. finde nix dazu im Bauer-Buch.

Und wie gehe ich dann vor ?

Liebe Grüße

        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Fr 25.05.2007
Autor: Walde

Hi cutter,

laut meiner Maßtheorie Vorlesung bedeutet  [mm] \mu_1<<\mu_2: [/mm]

[mm] (gelesen:\mu_1 [/mm] ist stetig bezüglich [mm] \mu_2 [/mm] oder [mm] auch:\mu_1 [/mm] ist [mm] \mu_2-stetig) [/mm]

Jede [mm] \mu_2 [/mm] Nullmenge ist auch eine [mm] \mu_1 [/mm] Nullmenge.

Kannst du die Transitivität dann sehen?

LG walde

Bezug
                
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Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Sa 26.05.2007
Autor: cutter

Hi
Ja hab das ein wenig verpennt...bei uns heisst das natuerlich auch "stetig" :)

Aber dann ist die Aufgabe ja ein wenig trivial oder?...
was soll ich denn dazu großes aufschreiben

wenn [mm] \mu_1 [/mm] stetig bzgl [mm] \mu_2 [/mm] ist dann gilt fuer alle A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ..  [mm] \mu_2(A)=0 [/mm] und daraus folgt [mm] \mu_1 [/mm] (A)=0

auf der anderen Seite ist
[mm] \mu_2 [/mm] stetig bzgl [mm] \mu_3 [/mm] ist dann gilt fuer alle B [mm] \in \mathcal{A}.. \mu_3(B)=0 [/mm] und daraus folgt [mm] \mu_2 [/mm] (B)=0

aus den beiden Seiten Folgt dann das [mm] \mu_2(A)=0=\mu_2(B) [/mm]
es folgt A=B und daraus die Behauptung ?

LG


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Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Sa 26.05.2007
Autor: Walde

Tja, mir scheint die Aufgabe auch sehr einfach zu sein.(Es kann natürlich immer sein,dass man nur glaubt sie wäre einfach,stattdessen hat man was nicht beachtet) Ich würde es so aufschreiben:


Beh: [mm] \mu_1<<\mu_3,d.h [/mm] jede [mm] \mu_3 [/mm] Nullmenge ist auch eine [mm] \mu_1 [/mm] Nullmenge.

Sei also [mm] A\in\mathcal{A} [/mm] eine [mm] \mu_3 [/mm] Nullmenge,d.h. [mm] \mu_3(A)=0. [/mm] Da
[mm] \mu_2<<\mu_3 [/mm] gilt ebenso [mm] \mu_2(A)=0. [/mm] Da [mm] \mu_1<<\mu_2 [/mm] gilt auch [mm] \mu_1(A)=0. [/mm] Also ist A auch [mm] \mu_1 [/mm] Nullmenge und das ist die Behauptung.

(Und das finde ich schon ausführlich aufgeschrieben.) Entweder es steckt noch etwas in der Aufgabe,was wir nicht beachten oder die Behauptung ist einfach klar.

LG walde

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Transitivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Mo 28.05.2007
Autor: cutter

Ok seh ich auch so...
nun soll ich noch zeigen ,dass
Seien [mm] r_1; r_2; \mu [/mm] drei Maße auf einem Messraum [mm] (­\Omega;A) [/mm] mit [mm] r_1<< \mu [/mm] und [mm] r_2 [/mm] << [mm] \mu [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] << [mm] \mu [/mm]

Hier geht dir Argumentation ja nicht so leicht , oder ? :)

LG


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Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:24 Di 29.05.2007
Autor: Walde

Hi cutter,

hm, ich weiss grad gar nicht,wie die Addition von Maßen definiert ist. Ist denn einfach [mm] (r_1+r_2)(A):=r_1(A)+r_2(A) [/mm] für [mm] A\in\mathcal{A}? [/mm]

Dann ist es auch ganz leicht:
Sei A eine [mm] \mu-Nullmenge,dann [/mm] gilt wegen [mm] r_1<<\mu...usw. [/mm]
(kriegst du den Rest alleine hin?)


LG walde

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Transitivität: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:17 Di 29.05.2007
Autor: cutter

Hi :)
Habs auch so aufgefasst und habe keine Probleme mit dem Beweis gehabt:)
nun noch eine Frage. Wenn [mm] \mu_1 [/mm] << [mm] \mu_2 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] << [mm] \mu_1 [/mm] nicht gilt.
Muss dann [mm] \mu_1 \perp \mu_2 [/mm] gelten?

Einerseits kann ich mir das bei der Fragestellung nicht vorstellen.
Jedoch habe ich auch kein Gegenbsp.. Falls
[mm] \mu_1 [/mm] << [mm] \mu_2 [/mm] gilt muessen ja alle [mm] \mu_2 [/mm] Nullmengen auch [mm] \mu_1 [/mm] Nullmengen sein. Aber viell koennen auch nur einige
[mm] \mu_2 [/mm] Nullmengen auch [mm] \mu_1 [/mm] Nullmengen sein.

Deswegen bin ich ein wenig verwundert und bin mir nicht ganz sicher.

LG und herzlichen Dank

Bezug
                                                        
Bezug
Transitivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:11 Mi 30.05.2007
Autor: Walde

Hi cutter,

> Hi :)
>  Habs auch so aufgefasst und habe keine Probleme mit dem
> Beweis gehabt:)
>  nun noch eine Frage. Wenn [mm]\mu_1[/mm] << [mm]\mu_2[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] <<
> [mm]\mu_1[/mm] nicht gilt.
>  Muss dann [mm]\mu_1 \perp \mu_2[/mm] gelten?

Da muss ich passen.Ich kenne das Symbol [mm] \perp [/mm] im Zusammenhang mit Maßen gar nicht.Wenn du mir sagst,was das heisst,kann ich dir evtl. helfen.(Falls niemand anderes vielleicht helfen möchte?)

LG walde


Bezug
                                                                
Bezug
Transitivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Mi 30.05.2007
Autor: cutter

Guten Morgen
Zwei Maße [mm] \mu_1 ,\mu_2 [/mm] heissen singulaer,wenn es eine Zerlegung
[mm] X=A\cup [/mm] B, [mm] A\cap B=\emptyset [/mm] gibt, so dass A eine [mm] \mu_1 [/mm] Nullmenge und B eine [mm] \mu_2 [/mm] Nullmenge ist.
Dann schreibt man [mm] \mu_1 \perp \mu_2. [/mm]

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Transitivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 Mi 30.05.2007
Autor: Walde

Hi,

mit der Definition,die ich []hier gefunden habe (S.131 Def.8.11, lies mal durch) sieht es für mich so aus, dass wenn

[mm] \mu_1<<\mu_2 [/mm] und [mm] \mu_2<<\mu_1 [/mm] und  [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] singulär sind, muss es ein [mm] N\in\mathcal{A} [/mm] geben,s.d. [mm] \mu_1(N)=0 [/mm] und [mm] \mu_2(\overline{N})=0. [/mm] Dann ist (wegen [mm] \mu_1<<\mu_2) [/mm] auch [mm] \mu_1(\overline{N})=0. [/mm]

Kann es eine Nullmenge geben, deren Komplement auch Nullmenge ist? Kommt warscheinlich auf die Sigma Algebra und das Maß an, ich weiss grad nicht. Ich denk mal schon.Von daher wäre es also kein Wiederspruch.Aber dass die Singulärität zwingend folgt seh ich auch grad nicht.Kann dir leider nicht helfen.

LG walde



Bezug
                                                        
Bezug
Transitivität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Do 31.05.2007
Autor: matux

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