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Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:30 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu einem Beweis eines Corollares der Trapez-Regel, die da lautet:

Trapez-Regel:
Sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist

[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (f(0) - f(1)) - R

wobei R = [mm] \frac{1}{2} \integral_{0}^{1}{x(1-x) f''(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi) [/mm]

für ein [mm] \xi \in [/mm] [0,1].


Das Corollar lautet wie folgt: Es sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und

K:= [mm] sup\{|f''(x)| : x \in [a,b] \} [/mm]

Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und h := [mm] \frac{b-a}{n}. [/mm] Dann gilt

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2} [/mm] f(a) + [mm] \summe_{v=1}^{n-1} [/mm] f(a+vh) + [mm] \frac{1}{2} [/mm] f(b)) * h + R

mit |R| [mm] \le \frac{K}{12} [/mm] (b-a) [mm] h^{2}. [/mm]

Beweis: .

Durch Variablentransformation erhält man aus dem Satz der Trapez-Regel:

[mm] \integral_{a+vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{h}{2}(f(a+vh) [/mm] + f(a+(v+1)h)) - [mm] \frac{h^{3}}{12} f''(\xi) [/mm]

mit [mm] \xi \in [/mm] [a+vh, a+(v+1)h]

Summation über v ergibt die Behauptung.

------------------

Meine Frage nun: Wieso kann man hier auf die Trapez-Regel zurückgreifen, die ja nur für das Intervall [0,1] gilt?


Ich wäre euch wie immer sehr dankbar für eine Antwort und Erklärung! :-)

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 So 09.07.2017
Autor: chrisno

Ersetze das Wort Variablentransformation durch Substitution.
Erinnere Dich, dass bei der Substitution auch die Grenzen geändert werden.

Bezug
                
Bezug
Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 So 09.07.2017
Autor: X3nion

Hi chrisno,

Danke für den Denkanstoß.

Aber es müsste in dem Fall doch h = 1 gelten, wenn a + vh = 0 sein soll und a+(v+1)h = 1, sodass im Endeffekt das Integral von 0 bis 1 geht und

[mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist, wie in der Trapez-Regel bestimmt.


Wie würde die Substitution aussehen, da komme ich nicht drauf.


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 So 09.07.2017
Autor: chrisno

Ich habe es nicht komplett nachgerechnet, aber fang mal so an:

[mm] $\int_0^1 [/mm] f(a+(v+th))h dt = [mm] \ldots$ [/mm]
Also ist [mm] $\varphi(t) [/mm] = a+(v+th)$.

Bezug
                                
Bezug
Trapez-Regel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:34 Mo 10.07.2017
Autor: X3nion

Hallo chrisno,

nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen gekommen:

Sei [mm] \phi(t) [/mm] = a + (v+t)h, => [mm] \phi'(t) [/mm] = h


Damit ist [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)} [/mm] = [mm] \integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm]

Ferner ist, da [mm] \phi'(t) [/mm] = h konstant, [mm] [f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)]' [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] = [mm] f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2} [/mm]

und weiter [mm] [f'(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{2}]' [/mm] = [mm] f''(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t)^{3} [/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm] h^{3} [/mm]

Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:

[mm] \integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] [h * f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi) [/mm] = [mm] \frac{h}{2} [/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] - [mm] \frac{h^{3}}{12} [/mm] * [mm] f''(\xi) [/mm]

mit einem [mm] \xi \in [/mm] [a + vh, a + (v+1)h]



Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir noch nicht ganz sicher bin:

Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann

[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * [f(0) + f(1)] - R,

mit R = [mm] \frac{1}{12} f''(\xi) [/mm]

mit einem [mm] \xi \in [/mm] [0,1] ist.


Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] anwenden? Ist dann halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) =  h * f(a + (v+t)h) = [mm] f(\phi(t)) [/mm] * [mm] \phi'(t) [/mm] die zweimal stetig differenzierbare Funktion?



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Trapez-Regel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 Mo 10.07.2017
Autor: fred97


> Hallo chrisno,
>  
> nun bin ich durch Substitution auf die Bedingungen
> gekommen:
>  
> Sei [mm]\phi(t)[/mm] = a + (v+t)h, => [mm]\phi'(t)[/mm] = h
>  
>
> Damit ist [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(\phi(t)) * \phi'(t)}[/mm] =
> [mm]\integral_{\phi(0)}^{\phi(1)}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm]
>
> Ferner ist, da [mm]\phi'(t)[/mm] = h konstant, [mm][f(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)]'[/mm] = [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] =
> [mm]f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}[/mm]
>
> und weiter [mm][f'(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)^{2}]'[/mm] = [mm]f''(\phi(t))[/mm] *
> [mm]\phi'(t)^{3}[/mm] = f''(a+(v+t)h) * [mm]h^{3}[/mm]
>  
> Und deshalb gemäß der Trapez-Regel:
>  
> [mm]\integral_{a + vh}^{a+(v+1)h}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{h * f(a + (v+t)h) dt}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] [h *
> f(a + vh) + h* f(a + (v+1)h)] - [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
> = [mm]\frac{h}{2}[/mm] [ f(a + vh) + f(a + (v+1)h)] -
> [mm]\frac{h^{3}}{12}[/mm] * [mm]f''(\xi)[/mm]
>  
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [a + vh, a + (v+1)h]
>  
>
>
> Was ich nun noch nicht ganz verstanden habe bzw. wo ich mir
> noch nicht ganz sicher bin:
>  
> Die Trapez-Regel besagt, dass wenn f:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] eine
> zweimal stetig differenzierbare Funktion ist, dass dann
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}[/mm] * [f(0) + f(1)] -
> R,
>  
> mit R = [mm]\frac{1}{12} f''(\xi)[/mm]
>  
> mit einem [mm]\xi \in[/mm] [0,1] ist.
>  
>
> Frage: Wieso kann man die Trapez-Regel auf die Funktion h *
> f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] anwenden? Ist dann
> halt die Funktion, ich nenne sie jetzt einfach mal g(t) =  
> h * f(a + (v+t)h) = [mm]f(\phi(t))[/mm] * [mm]\phi'(t)[/mm] die zweimal
> stetig differenzierbare Funktion?
>  

Ja, wenn f zweimal stetig differenzierbar ist, dann  auch g.


>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                
Bezug
Trapez-Regel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Sa 15.07.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen, nun ist mir alles klar!

VG X3nion

Bezug
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