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Umformung Differentialgleichun: Erklärung einer Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Di 29.04.2014
Autor: JennMaus

Aufgabe
[mm] \bruch{f'(t)}{S * f(t)} [/mm] - [mm] \bruch{-f'(t)}{S * (S - f(t))} [/mm] = k

= [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))-\bruch{1}{S}ln(S-f(t)) [/mm] = kt + c

Guten Abend,

kann mir vielleicht jemand diesen Schritt der Herleitung der explizieten Formel beim logistischen Wachstum erklären.

Ich weiß, dass die Lösung der Differenialgleichung [mm] \bruch{f'(t)}{f(t)} [/mm] hier eine wichtige Rolle spielt, aber wenn doch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(t)}{f(t)} dt} [/mm] = ln(f(t)) ist, warum ist dann bspw. [mm] \bruch{f'(t)}{S * f(t)} [/mm] nicht die Ableitung, also [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))' [/mm] sondern [mm] \bruch{1}{S}ln(f(t))? [/mm]

Vielen Dank schon mal :)

        
Bezug
Umformung Differentialgleichun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Di 29.04.2014
Autor: chrisno

Hallo,

> [mm]\bruch{f'(t)}{S * f(t)}[/mm] - [mm]\bruch{-f'(t)}{S * (S - f(t))}[/mm] =  k
>  

Das nächste Gleichheitszeichen streichen wir, es wird integriert.

> = [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))-\bruch{1}{S}ln(S-f(t))[/mm] = kt + c

>  Guten Abend,
>  
> kann mir vielleicht jemand diesen Schritt der Herleitung
> der explizieten Formel beim logistischen Wachstum
> erklären.
>  
> Ich weiß, dass die Lösung der Differenialgleichung
> [mm]\bruch{f'(t)}{f(t)}[/mm] hier eine wichtige Rolle spielt, aber
> wenn doch [mm]\integral_{}^{}{\bruch{f'(t)}{f(t)} dt}[/mm] =
> ln(f(t)) ist, warum ist dann bspw. [mm]\bruch{f'(t)}{S * f(t)}[/mm]
> nicht die Ableitung, also [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))'[/mm] sondern
> [mm]\bruch{1}{S}ln(f(t))?[/mm]
>  

Vielleicht reicht Dir diese Erklärung schon aus:
Ich führe eine neue Funktion ein: $g(t) = S - f(t)$.
Dann ist $g'(t) = -f'(t)$
Damit ist [mm] $\br{-f'(t)}{S - f(t)} [/mm] = [mm] \br{g'(t)}{g(t)}$ [/mm]
und [mm] $\int \br{g'(t)}{g(t)} [/mm] = [mm] \ln(g(t)) [/mm] + C = [mm] \ln(S-f(t)) [/mm] + C$

> Vielen Dank schon mal :)

Bitte

Bezug
                
Bezug
Umformung Differentialgleichun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Di 29.04.2014
Autor: JennMaus

Achso, vielen Dank.

Es wird also einfach auf beiden Seiten integriert, daher dann auch das kt + c ;)

Vielen Dank, auf das bin ich alleine nämlich nicht gekommen :/

Bezug
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