Umkehrfunktion finden < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Sa 11.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] f:\{1,2,3\} \times \{1,2,3\} \to \{0,..,8\}
[/mm]
(n,m) [mm] \mapsto [/mm] 3(n-1)+m-1
bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] |
Hallo ;))
Durch Aufzählen hab ich die Surjektivität(Alle Elemente von [mm] \{0,..,8\} [/mm] werden getroffen durch f und jedes Bild hat ein eindeutiges Urbild)
[mm] f^{-1} [/mm] (0)=(1,1)
[mm] f^{-1} [/mm] (1)=(1,2)
[mm] f^{-1} [/mm] (2)=(1,3)
[mm] f^{-1} [/mm] (3)=(2,1)
[mm] f^{-1} [/mm] (4)=(2,2)
[mm] f^{-1} [/mm] (5)=(2,3)
[mm] f^{-1} [/mm] (6)=(3,1)
[mm] f^{-1} [/mm] (7)=(3,2)
[mm] f^{-1} [/mm] (8)=(3,3)
Nun hänge ich bei der Umkehrabbildung.
[mm] y\in \{0,..,8\}, [/mm] m,n [mm] \in \{1,2,3\}
[/mm]
y= f((m,n))= 3(n-1)+m-1=2n+m-4
Ich habe eine Zahl [mm] y\in \{0,..,8\}, [/mm] jetzt fragt sich wie ich mir daraus die Komponenten m und n ausrechnen kann. Ich hab aber nur 1 Gleichung und zwei Unbekannte?
Also ich will keine Aufzählung wie die Elemente abgebildet werden sondern eine Formel für die Umkehrfunktion finden. Gibts da ein Trick?
Danke,
sissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 11.10.2014 | | Autor: | chrisno |
> ....
> Ich habe eine Zahl [mm]y\in \{0,..,8\},[/mm] jetzt fragt sich wie
> ich mir daraus die Komponenten m und n ausrechnen kann. Ich
> hab aber nur 1 Gleichung und zwei Unbekannte?
Du suchst im einfachsten Fall zwei Funktionen.
> Also ich will keine Aufzählung wie die Elemente
> abgebildet werden sondern eine Formel für die
> Umkehrfunktion finden.
Die Aufzählung ist eine legitime Art eine Funktion anzugeben.
> Gibts da ein Trick?
Die Frage ist, was Du mit Trick meinst. Naheliegend ist hier die Verwendung des Rests bei der Division durch 3 und auch der Gaußklammer. http://de.wikipedia.org/wiki/Division_mit_Rest
Eine Bastelei mit [mm] $(-1)^n$ [/mm] fällt mir erst einmal nicht ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 12.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Mhmm..
Hast du vlt noch einen Tipp wie ich starte?
[mm] y\in \{0,..8\}
[/mm]
y=f((n,m))= 3n+m-4
Mir fällt nur ein es von 1 Komponente abhängig zu machen.
[mm] ((f^{-1}(y))_1, (f^{-1}(y))_2))=(m, \frac{y+4-m}{3})
[/mm]
so dass [mm] \frac{y+4-m}{3} \in \{1,2,3\}, [/mm] m [mm] \in \{1,2,3\}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 12.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Formulier mal in Worten, wie man auf die beiden Funktionswerte kommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 12.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für den Hinweis.:
y=0 [mm] \begin{cases} n=1, & m=y+4-3n=1 \in \{1,2,3\} \\ n=2, & m=y+4-3n=-2 \not\in \{1,2,3\} \\ n=3, & m=y+4-3n=-5 \not\in \{1,2,3\} \end{cases}
[/mm]
Ich schaue mir für jeden y Wert die 3 Fälle an n=1, n=2, n=3 an und überprüfe ob der m-Wert (m=y+4-3n) auch in der Definitionsmenge ist. Wenn ja hab ich ein Urbild von y gefunden.
ODER weil du ja meintest mit 3 zu dividieren
y=0 [mm] \begin{cases} m=1, & n=\frac{y+4-m}{3}=1 \in \{1,2,3\} \\ m=2, & n=\frac{y+4-m}{3}=2/3\not\in \{1,2,3\} \\ m=3, & n=\frac{y+4-m}{3}=1/3 \not\in \{1,2,3\} \end{cases}
[/mm]
Ich seh nicht so ganz Land, wie ich die Fallunterscheidung wegbekomme indem ich mit Gaußklammern rechne.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 So 12.10.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo,
>
> Danke für den Hinweis.:
>
> y=0 [mm]\begin{cases} n=1, & m=y+4-3n=1 \in \{1,2,3\} \\ n=2, & m=y+4-3n=-2 \not\in \{1,2,3\} \\ n=3, & m=y+4-3n=-5 \not\in \{1,2,3\} \end{cases}[/mm]
>
> Ich schaue mir für jeden y Wert die 3 Fälle an n=1, n=2,
> n=3 an und überprüfe ob der m-Wert (m=y+4-3n) auch in der
> Definitionsmenge ist. Wenn ja hab ich ein Urbild von y
> gefunden.
>
> ODER weil du ja meintest mit 3 zu dividieren
>
> y=0 [mm]\begin{cases} m=1, & n=\frac{y+4-m}{3}=1 \in \{1,2,3\} \\ m=2, & n=\frac{y+4-m}{3}=2/3\not\in \{1,2,3\} \\ m=3, & n=\frac{y+4-m}{3}=1/3 \not\in \{1,2,3\} \end{cases}[/mm]
>
> Ich seh nicht so ganz Land, wie ich die Fallunterscheidung
> wegbekomme indem ich mit Gaußklammern rechne.
Du suchst doch das Urbild von y, hast also nur y gegeben. Versuch doch einmal, wie von chrisno schon vorgeschlagen, y durch 3 zu dividieren und schau dir das Ergebnis der Ganzzahlsdivision (Gaußklammer) und den jeweiligen Rest (Modulo) an. Da sollte dir sicher etwas auffallen.
Gruß RMix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 13.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
Hab ich mir angeschaut und bin auf das Ergebnis gekommen:
[mm] f^{-1} [/mm] (y)= [mm] (\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1, [/mm] (y(mod 3)+1) = [mm] (\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1, [/mm] y- [mm] 3*\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 13.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Hab ich mir angeschaut und bin auf das Ergebnis gekommen:
> [mm]f^{-1}[/mm] (y)= [mm](\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1,[/mm] (y(mod 3)+1) =
> [mm](\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1,[/mm] y- [mm]3*\lfloor \frac{y}{3} \rfloor+1)[/mm]
Ob das stimmt kannst Du doch mit
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (0)=(1,1)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (1)=(1,2)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (2)=(1,3)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (3)=(2,1)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (4)=(2,2)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (5)=(2,3)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (6)=(3,1)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (7)=(3,2)
$ [mm] f^{-1} [/mm] $ (8)=(3,3)
nachprüfen !
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mo 13.10.2014 | | Autor: | chrisno |
Wenn ich das nachrechne, stimmt es.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Di 14.10.2014 | | Autor: | sissile |
Danke ;)
Liebe Grüße,
sissi
|
|
|
|
