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Umordnung von Reihen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:15 Sa 25.07.2015
Autor: X3nion

Hallo liebe Community!

Ich habe eine paar Fragen zum Beweis der Umordnung absolut konvergenter Reihen. Zuerst einmal hier der Satz und der Beweis um den es geht:

Satz: Sei K [mm] \in \{\IR, \IC\} [/mm] und seien [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine absolut konvergente Reihe in K und [mm] \tau [/mm] : [mm] \IN \to \IN [/mm] eine bijektive Abbildung. Dann ist auch die umgeordnete Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] absolut konvertent und es gilt

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}. [/mm]


Beweis: Ist n [mm] \in \IN, [/mm] so setzen wir n* := [mm] max\{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}, [/mm] und haben die Inklusion [mm] \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \}, [/mm] also auch

[mm] \summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}| [/mm]  < [mm] \infty. [/mm]

Da nun [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{\tau(k)}| [/mm] konvergent ist, ist auch [mm] \summe_{n=0}^{n} a_{\tau(k)} [/mm] absolut konvergent.
Damit ist die erste Aussage bewiesen. Insbesondere sind [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] beide konvergent. Bezeichne

[mm] s_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] und s'_{n} := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{\tau(k)} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] die jeweiligen Partialsummen. Wir wollen zeigen, dass die Differenzen [mm] (s_{n} [/mm] - [mm] s'{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge bilden. Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Nach dem Cauchy Kriterium für Reihen existiert [mm] n_{1} \in \IN [/mm] mit
[mm] \summe_{k=n}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

für alle n, m [mm] \in \IN [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge n_{1}. [/mm]
Wir setzen
[mm] n_{0} [/mm] := [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}. [/mm]

Sei jetzt n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge n_{0} [/mm] gegeben. Dann sind

0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] ... , [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1) [mm] \in \{1, ..., n\}, [/mm]

also auch 0, 1, ... , [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}. [/mm]

Bilden wir also die Differenz

[mm] s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}' [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{\tau(k)}, [/mm]

so kommt jeder der Summanden [mm] a_{0}, [/mm] ... , [mm] a_{n_{1} - 1} [/mm] sowohl in [mm] s_{n} [/mm] als auch in [mm] s_{n}' [/mm] vor, und verschwindet in der Differenz. Von [mm] s_{n} [/mm] und [mm] s_{n}' [/mm] verbleiben dann nur noch die Summanden der Form [mm] a_{k} [/mm] mit k [mm] \ge n_{1} [/mm] und k [mm] \in \{0, ... , n, \tau(0), ... , \tau(n)\}. [/mm] Diejenigen davon die in [mm] s_{n} [/mm] und [mm] s_{n}' [/mm] vorkommen verschwinden in der Differenz, und die anderen bleiben mit eventuellen Vorzeichen stehen. Setzen wir also [mm] m:=max\{n, \tau(0), ... , \tau(n)\}, [/mm]

so ist m [mm] \ge n_{1} [/mm] und es gibt eine Menge M [mm] \subseteq \{n_{1}, n_{1} + 1, ... , m\} [/mm] und Vorzeichen [mm] \sigma_{k} \in \{-1, 1\} [/mm] für k [mm] \in [/mm] M mit

[mm] s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}' [/mm] =  [mm] \summe_{k\inM}^{} \sigma_{k}a_{k}. [/mm]

Mit der Dreiecksungleichung folgt:

[mm] |s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}'| [/mm] = | [mm] \summe_{k\inM}^{} \sigma_{k}a_{k}| \le \summe_{k\inM}^{} |a_{k} \le \summe_{k=n_{1}}^{m} |a_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]

Damit ist schließlich [mm] (s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}')_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge. Mit den Grenzwertsätzen folgt schließlich:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}' [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (s_{n} [/mm] - [mm] s_{n}') [/mm] = 0.  q.e.d



Nun habe ich einige Verständnisfragen zu obigem Beweis:

1) Zur Inklusion [mm] \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \} [/mm] und der Ungleichung danach [mm] \summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}| [/mm]  < [mm] \infty. [/mm]

Kann ich mir das so vorstellen, dass ich zum Beispiel für [mm] \tau_{0}, [/mm] ... , [mm] \tau_{5} [/mm] folgende Zahlen nehme:
1, 36, 25, 4, 128, 6 und das Aufsummieren dieser Glieder ja eindeutig kleiner sein muss als das Aufsummieren derjenigen von 1, ... , 128 (wobei ja 128 [mm] n_{0} [/mm] entspricht, also das Maximum aller Taus). ?
Und wenn ich zum Beispiel 3, 2, 1, 5, 4, 6 habe, dann wäre ja die Summe [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{6} [/mm] gleich der Summe [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] + ... + [mm] a_{6} [/mm] ?
Deshalb steht da ein [mm] \le [/mm] in der Ungleichung oder?

2) Ich scheitere in der Zeile, wo [mm] n_{0} [/mm] := [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] definiert wird.
Was meint man hier mit der Umkehrabbildung Tau, und welche Folgenglieder werden dann betrachtet? Ich denke das beste ist, dass ich das zuerst verstehe, bevor ich weiterfrage :-)


Ich würde mich über eure Antworten sehr freuen!

Viele Grüße,
Christian

        
Bezug
Umordnung von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Sa 25.07.2015
Autor: hippias


> Hallo liebe Community!
>  
>
>
> Nun habe ich einige Verständnisfragen zu obigem Beweis:
>  
> 1) Zur Inklusion [mm]\{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\} \subseteq \{1, ..., n\* \}[/mm]
> und der Ungleichung danach [mm]\summe_{k=0}^{n} |a_{\tau(k)}| \le \summe_{k=0}^{n*} |a_{k}| \le \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}|[/mm]
>  < [mm]\infty.[/mm]
>  
> Kann ich mir das so vorstellen, dass ich zum Beispiel für
> [mm]\tau_{0},[/mm] ... , [mm]\tau_{5}[/mm] folgende Zahlen nehme:
>  1, 36, 25, 4, 128, 6 und das Aufsummieren dieser Glieder
> ja eindeutig kleiner sein muss als das Aufsummieren
> derjenigen von 1, ... , 128 (wobei ja 128 [mm]n_{0}[/mm] entspricht,
> also das Maximum aller Taus). ?

Ja.

>  Und wenn ich zum Beispiel 3, 2, 1, 5, 4, 6 habe, dann
> wäre ja die Summe [mm]a_{3}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{6}[/mm] gleich der
> Summe [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] + ... + [mm]a_{6}[/mm] ?

Ja.

>  Deshalb steht da ein [mm]\le[/mm] in der Ungleichung oder?

Die linke Menge von Indices ist in der rechten Indexmenge enthalten. Daher umfasst die Summe ueber die Indices der linken Menge i.a. weniger Summanden.

>  
> 2) Ich scheitere in der Zeile, wo [mm]n_{0}[/mm] := [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm]
> definiert wird.
> Was meint man hier mit der Umkehrabbildung Tau, und welche
> Folgenglieder werden dann betrachtet?

Das ist die Umkehrfunktion der Bijektion [mm] $\tau$. [/mm] Beispielsweise sei [mm] $\tau:\IN_{0}\to\IN_{0}$ [/mm] definiert durch [mm] $n\mapsto \begin{cases} n-2 & n\equiv_{2}0, n>0\\ 1 & n=0\\ n+2 & n\equiv_{2}1\end{cases}$. [/mm] Dann ist z.B. [mm] $\tau^{-1}(10)=12$, $\tau^{-1}(0)=2$, $\tau^{-1}(1)=0$ [/mm] und [mm] $\tau^{-1}(11)= [/mm] 9$, weil [mm] $\tau(12)=10$, $\tau(2)=0$, $\tau(0)=1$ [/mm] und [mm] $\tau(9)=11$ [/mm] gilt.

> Ich denke das beste
> ist, dass ich das zuerst verstehe, bevor ich weiterfrage
> :-)
>  
>
> Ich würde mich über eure Antworten sehr freuen!
>  
> Viele Grüße,
>  Christian


Bezug
                
Bezug
Umordnung von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Sa 25.07.2015
Autor: X3nion

Hallo!

Okay das Prinzip der Umkehrabbildung denke ich verstanden zu haben.
Allerdings verstehe ich nicht, welche Glieder denn mit [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ... , [mm] \tau^{-1}(n_{1}) [/mm] gemeint sind.
Umgekehrt ist mir dies klar: Oben bei der Inklusion betrachte ich ja die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] aller [mm] a_{\tau(k)}, [/mm] wobei für [mm] \tau(0) [/mm] usw. gilt was wird aus dem Index 0 bei [mm] a_{0}, [/mm] was mit demjenigen bei [mm] a_{1} [/mm] usw.

Mir wird hier nun nicht klar, welche Folgenglieder nun in der Menge [mm] n_{0} [/mm] drin sind.
Wir betrachten ja gerade die Reihe der [mm] a_{k} [/mm] und nicht der [mm] a_{\tau(k)}, [/mm] deshalb verstehe ich nicht, was das [mm] \tau [/mm] hier zu suchen hat.

Bezug
                        
Bezug
Umordnung von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Sa 25.07.2015
Autor: hippias


> Hallo!
>  
> Okay das Prinzip der Umkehrabbildung denke ich verstanden
> zu haben.
>  Allerdings verstehe ich nicht, welche Glieder denn mit
> [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... , [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm] gemeint sind.

Es sind die Indices gemeint, die [mm] $\tau$ [/mm] auf $0$, auf $1$, etc. und auf [mm] $n_{1}$ [/mm] abbildet.

>  Umgekehrt ist mir dies klar: Oben bei der Inklusion
> betrachte ich ja die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] aller
> [mm]a_{\tau(k)},[/mm] wobei für [mm]\tau(0)[/mm] usw. gilt was wird aus dem
> Index 0 bei [mm]a_{0},[/mm] was mit demjenigen bei [mm]a_{1}[/mm] usw.

Das verstehe ich nicht richtig.

>
> Mir wird hier nun nicht klar, welche Folgenglieder nun in
> der Menge [mm]n_{0}[/mm] drin sind.
>  Wir betrachten ja gerade die Reihe der [mm]a_{k}[/mm] und nicht der
> [mm]a_{\tau(k)},[/mm] deshalb verstehe ich nicht, was das [mm]\tau[/mm] hier
> zu suchen hat.

Das ist nicht richtig. An dieser Stelle des Beweises wird sowohl die Reihe [mm] $\sum_{k} a_{k}$ [/mm] als auch die Reihe [mm] $\sum_{k} a_{\tau(k)}$ [/mm] betrachten, denn man moechte hier zeigen, dass beide Reihen den gleichen Grenzwert haben. Dass nun gerade auch die Umkehrfunktion von [mm] $\tau$ [/mm] ins Spiel kommt, liegt an der dem Beweis zugrunde liegende Idee: macht man alles geschickt und bildet dann die Differenz der Partialsummen, so loeschen sich eine ganze Menge Summanden aus.
  

Bezug
                                
Bezug
Umordnung von Reihen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:56 So 26.07.2015
Autor: X3nion

Hallo zusammen und Hallo hippias!

Kann ich es mir denn so vorstellen:

[mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] bedeutet, ich wähle mein [mm] n_{0} [/mm] derart hoch, sodass alle Indizes bis [mm] n_{1} [/mm] in der Reihe der [mm] a_{\tau(k)} [/mm] vorkommen?
Also zum Beispiel sei [mm] n_{1} [/mm] = 3. Es könnte ja sein, [mm] \tau(34) [/mm] = 0, [mm] \tau(5) [/mm] = 1, [mm] \tau(64) [/mm] = 2 und  [mm] \tau(28) [/mm] = 3.
Und ich muss nun mein [mm] n_{0} [/mm] so hoch setzen, dass auf jeden Fall in der Reihe [mm] a_{\tau(k)} [/mm] alle Folgenglieder von 0, 1, ... bis [mm] n_{1} [/mm] vorkommen? Also in diesem Fall wäre das Maximum ja [mm] \tau^{-1}(2) [/mm] = [mm] \tau^{-1}(n_{1}-1)= [/mm] 64.

Zu 0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] ... , habe ich glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt heißen, oder?
->  0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1, [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ..., [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1 ) [mm] \in \{0, ..., n\} [/mm]

Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen von 0 bis [mm] n_{1} [/mm] - 1 in der Menge [mm] \{0, ..., n\} [/mm] enthalten sind: Denn es ist ja n [mm] \ge n_{0} [/mm] ist und es könnte ja [mm] n_{0} [/mm] = [mm] n_{1} [/mm] sein, dann wäre n [mm] \ge n_{1} [/mm] und damit auch [mm] \ge n_{1} [/mm] - 1, somit wäre [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in [/mm] der Menge von 0 bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in der Menge drin.
Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre [mm] n_{1} [/mm] kleiner als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
Mit [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ..., [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] - 1 ) gilt ja dasselbe Spiel.

Habe ich das denn richtig verstanden?


Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1, ..., [mm] n_{1} [/mm] - 1 [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}. [/mm]
Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?


Viele Grüße und einen schönen Sonntag,
euer Christian

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Umordnung von Reihen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 28.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
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Umordnung von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Di 28.07.2015
Autor: X3nion

Hallo Leute!

Der Fälligkeitszeitpunkt für meine letzte Frage ist abgelaufen, deshalb stelle ich sie nun noch einmal, in der Hoffnung, dass mir jemand antwortet ;)
Meine Frage richtete sich an der Stelle, an welcher [mm] n_{0} [/mm] gewählt wird.




Kann ich es mir denn so vorstellen:

$ [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm] $ bedeutet, ich wähle mein $ [mm] n_{0} [/mm] $ derart hoch, sodass alle Indizes bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ in der Reihe der $ [mm] a_{\tau(k)} [/mm] $ vorkommen?
Also zum Beispiel sei $ [mm] n_{1} [/mm] $ = 3. Es könnte ja sein, $ [mm] \tau(34) [/mm] $ = 0, $ [mm] \tau(5) [/mm] $ = 1, $ [mm] \tau(64) [/mm] $ = 2 und  $ [mm] \tau(28) [/mm] $ = 3.
Und ich muss nun mein $ [mm] n_{0} [/mm] $ so hoch setzen, dass auf jeden Fall in der Reihe $ [mm] a_{\tau(k)} [/mm] $ alle Folgenglieder von 0, 1, ... bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ vorkommen? Also in diesem Fall wäre das Maximum ja $ [mm] \tau^{-1}(2) [/mm] $ = $ [mm] \tau^{-1}(n_{1}-1)= [/mm] $ 64.

Zu 0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1, $ [mm] \tau^{-1}(1), [/mm] $ ... , habe ich glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt heißen, oder?
->  0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1, $ [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] $ ..., $ [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] $ - 1 ) $ [mm] \in \{0, ..., n\} [/mm] $

Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen von 0 bis $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 in der Menge $ [mm] \{0, ..., n\} [/mm] $ enthalten sind: Denn es ist ja n $ [mm] \ge n_{0} [/mm] $ ist und es könnte ja $ [mm] n_{0} [/mm] $ = $ [mm] n_{1} [/mm] $ sein, dann wäre n $ [mm] \ge n_{1} [/mm] $ und damit auch $ [mm] \ge n_{1} [/mm] $ - 1, somit wäre $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 $ [mm] \in [/mm] $ der Menge von 0 bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in der Menge drin.
Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre $ [mm] n_{1} [/mm] $ kleiner als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
Mit $ [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] $ ..., $ [mm] \tau^{-1}(n_{1} [/mm] $ - 1 ) gilt ja dasselbe Spiel.

Habe ich das denn richtig verstanden?


Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1, ..., $ [mm] n_{1} [/mm] $ - 1 $ [mm] \in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}. [/mm] $
Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?


Viele Grüße und dankbar wäre über eine Antwort,
Christian


Bezug
                
Bezug
Umordnung von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Do 30.07.2015
Autor: hippias


> Hallo Leute!
>  
> Der Fälligkeitszeitpunkt für meine letzte Frage ist
> abgelaufen, deshalb stelle ich sie nun noch einmal, in der
> Hoffnung, dass mir jemand antwortet ;)
>  Meine Frage richtete sich an der Stelle, an welcher [mm]n_{0}[/mm]
> gewählt wird.
>  
>
>
>
> Kann ich es mir denn so vorstellen:
>  
> [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm] bedeutet,
> ich wähle mein [mm]n_{0}[/mm] derart hoch, sodass alle Indizes bis
> [mm]n_{1}[/mm] in der Reihe der [mm]a_{\tau(k)}[/mm] vorkommen?

Das ist mir unklar. Richtig ist, dass die Menge [mm] $\{0,\ldots,n_{0}\}$ [/mm] die Menge [mm] $\{0,\ldots, n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}$ [/mm] enthaelt.

>  Also zum Beispiel sei [mm]n_{1}[/mm] = 3. Es könnte ja sein,
> [mm]\tau(34)[/mm] = 0, [mm]\tau(5)[/mm] = 1, [mm]\tau(64)[/mm] = 2 und  [mm]\tau(28)[/mm] = 3.
>  Und ich muss nun mein [mm]n_{0}[/mm] so hoch setzen, dass auf jeden
> Fall in der Reihe [mm]a_{\tau(k)}[/mm] alle Folgenglieder von 0, 1,
> ... bis [mm]n_{1}[/mm] vorkommen? Also in diesem Fall wäre das
> Maximum ja [mm]\tau^{-1}(2)[/mm] = [mm]\tau^{-1}(n_{1}-1)=[/mm] 64.

Ja.

>  
> Zu 0, 1, ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1, [mm]\tau^{-1}(1),[/mm] ... , habe ich
> glaube ich einen Fehler entdeckt. Es müsste doch wie folgt
> heißen, oder?
>  ->  0, 1, ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1, [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ...,
> [mm]\tau^{-1}(n_{1}[/mm] - 1 ) [mm]\in \{0, ..., n\}[/mm]
>  
> Wie dem auch sei, es erscheint logisch, dass alle Zahlen
> von 0 bis [mm]n_{1}[/mm] - 1 in der Menge [mm]\{0, ..., n\}[/mm] enthalten
> sind: Denn es ist ja n [mm]\ge n_{0}[/mm] ist und es könnte ja
> [mm]n_{0}[/mm] = [mm]n_{1}[/mm] sein, dann wäre n [mm]\ge n_{1}[/mm] und damit auch
> [mm]\ge n_{1}[/mm] - 1, somit wäre [mm]n_{1}[/mm] - 1 [mm]\in[/mm] der Menge von 0
> bis n. Alle anderen Zahlen sind kleiner und deshalb auch in
> der Menge drin.

Wenn Du jetzt mit $n$ das obige [mm] $n_{0}$ [/mm] meinst, dann ja.

>  Wäre eine andere Zahl das Maximum, so wäre [mm]n_{1}[/mm] kleiner
> als diese Zahl und sowieso in dieser Menge.
>  Mit [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ..., [mm]\tau^{-1}(n_{1}[/mm] - 1 ) gilt ja
> dasselbe Spiel.
>  
> Habe ich das denn richtig verstanden?
>  
>
> Was ist jedoch nicht ganz verstehe ist der Schritt 0, 1,
> ..., [mm]n_{1}[/mm] - 1 [mm]\in \{\tau(0), \tau(1), ... , \tau(n)\}.[/mm]
>  
> Könnt ihr mir das ein wenig verständlicher machen?

Nach Definition von [mm] $n_{0}$ [/mm] ist [mm] $\tau^{-1}(k)\leq n_{0}$ [/mm] fuer [mm] $0\leq k\leq n_{1}$, [/mm] d.h. [mm] $\tau^{-1}(k)\in \{0,\ldots, n_{0}\}$. [/mm] Folglich ist [mm] $\tau(\tau^{-1}(k))= k\in \{\tau(0),\ldots, \tau(n_{0})\}$. [/mm]

>  
>
> Viele Grüße und dankbar wäre über eine Antwort,
>  Christian
>  


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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:27 Fr 23.10.2015
Autor: X3nion

Hallo hippias,

nach langer Abstinenz melde ich mich nun auch wieder zur Wort und bedanke mich für deine Antwort - mir ist der Sachverhalt nun klar geworden!



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Umordnung von Reihen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:34 Fr 23.10.2015
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso bei [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm]  das [mm] n_{1} [/mm] steht.

Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja eigentlich überflüssig oder?

Wenn [mm] n_{1} [/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm] \tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1} [/mm] kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm] \tau. [/mm] Falls zum Beispiel [mm] \tau(0) [/mm] = 0, [mm] \tau(1) [/mm] = 1, ..., [mm] \tau(5) [/mm] = 5, so wäre ja [mm] n_{1} [/mm] = [mm] \tau(5) [/mm] = [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}. [/mm]
Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.


Viele Grüße,
Christian


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Umordnung von Reihen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 So 25.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Umordnung von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mo 26.10.2015
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

der Fälligkeitszeitraum ist abgelaufen, deshalb stelle ich die Frage nun nochmal in der Hoffnung, dass mir jemand antwortet! :)


eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso bei [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\} [/mm]  das [mm] n_{1} [/mm] steht.

Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja eigentlich überflüssig oder?

Wenn [mm] n_{1} [/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm] \tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1} [/mm] kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm] \tau. [/mm] Falls zum Beispiel [mm] \tau(0) [/mm] = 0, [mm] \tau(1) [/mm] = 1, ..., [mm] \tau(5) [/mm] = 5, so wäre ja [mm] n_{1} [/mm] = [mm] \tau(5) [/mm] = [mm] max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}. [/mm]
Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.


Viele Grüße,
Christian


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Umordnung von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Mo 26.10.2015
Autor: tobit09

Hallo Christian!


> eine letzte Frage habe ich zu diesem Beweis. Und zwar wieso
> bei [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}[/mm]  das
> [mm]n_{1}[/mm] steht.
>  
> Dieses ist doch eigentlich unerheblich, denn es kann doch
> eigentlich nie eigenständig Maximum sein und ist ja
> eigentlich überflüssig oder?
>  
> Wenn [mm]n_{1}[/mm] zum Beispiel 5 ist, so habe ich [mm]\tau(0), \tau(1), \tau(2), \tau(3),\tau(4), \tau(5). n_{1}[/mm]
> kann ja nie selbst das Maximum der Menge sein, sondern
> "teilt" sich diese Rolle höchstens mit einem [mm]\tau.[/mm] Falls
> zum Beispiel [mm]\tau(0)[/mm] = 0, [mm]\tau(1)[/mm] = 1, ..., [mm]\tau(5)[/mm] = 5, so
> wäre ja [mm]n_{1}[/mm] = [mm]\tau(5)[/mm] = [mm]max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}.[/mm]
>  
> Genau das gleiche bei allen möglichen Permutationen.

Du hast Recht.

Deine Vermutung müsstest du nun noch allgemein beweisen.
Diesen Beweis kann man sich sparen, wenn man [mm] $n_0:=max\{n_{1}, \tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}$ [/mm] setzt.


Hier mein Vorschlag zum Beweis deiner Vermutung:

Sei [mm] $A:=\{\tau^{-1}(0), ..., \tau^{-1}(n_{1})\}\subseteq\IN$. [/mm]
Es genügt zu zeigen, dass $A$ keine Teilmenge von [mm] $B:=\{0,1,2,\ldots,n_1-1\}$ [/mm] ist.
Denn dann gibt es ein [mm] $n\in [/mm] A$ (insbesondere [mm] $n\in\IN$) [/mm] mit [mm] $n\notin [/mm] B$, also mit [mm] $n\ge n_1$. [/mm]

Angenommen [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Dann folgt unter Beachtung der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] der Widerspruch

       [mm] $n_1+1=|A|\le |B|=n_1$. [/mm]



Viele Grüße
Tobias

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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Di 27.10.2015
Autor: X3nion

Hallo Tobias,

vielen Dank dir für die Antwort! :)
Ich finde es wirklich interessant, wie schön man in der Mathematik Dinge logisch beweisen kann.
Man betrachtet hier die Mächtigkeit der Mengen und stellt fest, dass die Mächtigkeit der Menge A kleiner oder gleich der Mächtigkeit der Menge B sein muss, falls A eine Teilmenge von B ist, kommt dann aber auf den Widerspruch dass [mm] n_{1} [/mm] + 1 [mm] \le n_{1} [/mm] ... wirklich total interessant!

Aber müsste man nicht mithilfe der bijektiven Eigenschaft von [mm] \tau [/mm] argumentieren, dass die Anzahl der Menge tatsächlich [mm] n_{1} [/mm] + 1 ist?

Die Injektivität bedeutet doch, dass bei der Umkehrabbildung [mm] \tau^{-1} [/mm] alle Elemente höchstens ein Urbild haben, die Anzahl der Elemente in A also höchstens [mm] n_{1} [/mm] + 1 beträge, oder irre ich mich da?

VG X3nion

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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:01 Mi 28.10.2015
Autor: tobit09


> Aber müsste man nicht mithilfe der bijektiven Eigenschaft
> von [mm]\tau[/mm] argumentieren, dass die Anzahl der Menge
> tatsächlich [mm]n_{1}[/mm] + 1 ist?
>  
> Die Injektivität bedeutet doch, dass bei der
> Umkehrabbildung [mm]\tau^{-1}[/mm] alle Elemente höchstens ein
> Urbild haben, die Anzahl der Elemente in A also höchstens
> [mm]n_{1}[/mm] + 1 beträge, oder irre ich mich da?

Ich hatte mich leider verschrieben:

Tatsächlich benötigen wir die Injektivität der Umkehrabbildung [mm] $\tau^\red{-1}$, [/mm] um [mm] $|A|=n_1+1$ [/mm] einzusehen.

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Umordnung von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 Mi 28.10.2015
Autor: X3nion

Hallo Tobias,

aber wieso reicht denn die Injektivität von [mm] \tau^{-1} [/mm] als Argument aus und es muss nicht zusätzlich auch noch die surjektivität gelten?
Könnteat du mir das erklären? ;)

VG Christian

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Umordnung von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 28.10.2015
Autor: tobit09


> aber wieso reicht denn die Injektivität von [mm]\tau^{-1}[/mm] als
> Argument aus und es muss nicht zusätzlich auch noch die
> surjektivität gelten?
>  Könnteat du mir das erklären? ;)

Natürlich ist [mm] $\tau^{-1}\colon\IN\to\IN$ [/mm] auch surjektiv.

Aber das spielt für den Nachweis von [mm] $|A|=|\{\tau^{-1}(0),\tau^{-1}(1),\ldots,\tau^{-1}(n_1)\}|=n_1+1$ [/mm] keine Rolle.

Entscheidend ist dafür nur, dass es sich bei den [mm] $n_1+1$ [/mm] vielen Elementen [mm] $\tau^{-1}(0),\tau^{-1}(1),\ldots,\tau^{-1}(n_1)$ [/mm] von A um paarweise verschiedene Elemente handelt und dass dies sämtliche Elemente von A sind.

Formalere Argumentation:
Sei [mm] $A':=\{0,1,\ldots,n_1\}$. [/mm]
Dann gilt [mm] $|A'|=n_1+1$. [/mm]
Daher genügt es, $|A|=|A'|$ zu zeigen.
Dafür wiederum genügt es, eine Bijektion [mm] $\sigma\colon A'\to [/mm] A$ zu finden.
Wir wählen [mm] $\sigma\colon A'\to A,\quad \sigma(i):=\tau^{-1}(i)$. [/mm]
Nach Definition von A ist [mm] $\sigma$ [/mm] wohldefiniert und surjektiv.
Wegen der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] ist auch [mm] $\sigma$ [/mm] injektiv.

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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Sa 31.10.2015
Autor: X3nion

Hallo Tobias und Hallo liebe Community!

Hm ich stehe leider immer noch ein wenig auf dem Schlauch :-/

Ich bezeichne einmal [mm] \tau^{-1}: \IN [/mm] -> [mm] \IN, [/mm] A* -> A

Du sagst es muss sich um paarweise verschiedene Elemente bei [mm] \tau^{-1}(0), [/mm] ... ,  [mm] \tau^{-1}(n_{1}) \in [/mm] A handeln.
Könnte man denn nicht einfach auch so argumentieren:
Sei [mm] \tau^{-1}(0) [/mm] = [mm] \tau^{-1}(n_{1}) [/mm]
Dann ist [mm] \tau(\tau^{-1}(0)) [/mm] = 0 und [mm] \tau(\tau^{-1}(n_{1})) [/mm] = [mm] n_{1}. [/mm]
Dies würde aber bedeuten, dass wenn ich [mm] \tau [/mm] auf ein und dieselbe Zahl anwende, ich zwei unterschiedliche Werte bekomme, und dies würde ja im Widerspruch zu einer Abbildung stehen.
Z.B. [mm] \tau(2) [/mm] = 4 und [mm] \tau(2) [/mm] = 15 würde doch nicht der Definition einer Abbildung entsprechen, da eine Abbildung f: D -> Z ja so definiert ist, dass sie jedem Element aus D genau ein Element aus Z zuordnet.

Somit wäre doch insgesamt die Möglichkeit gar nicht gegeben, dass die Elemente von A paarweise gleich sind, da im Umkehrschluss gelten müsste, dass [mm] \tau [/mm] keine Abbildung wäre, was ja ein Widerspruch ist. Deshalb müssten doch alle Elemente von A paarweise verschieden sein oder?

Oder werfe ich da total was durcheinander? :-)

VG und Happy Halloween,
X3nion

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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Di 03.11.2015
Autor: tobit09


> Hm ich stehe leider immer noch ein wenig auf dem Schlauch
> :-/
>  
> Ich bezeichne einmal [mm]\tau^{-1}: \IN[/mm] -> [mm]\IN,[/mm] A* -> A
>  
> Du sagst es muss sich um paarweise verschiedene Elemente
> bei [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... ,  [mm]\tau^{-1}(n_{1}) \in[/mm] A handeln.
> Könnte man denn nicht einfach auch so argumentieren:
> Sei [mm]\tau^{-1}(0)[/mm] = [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm]

Du betrachtest nur die erste und die letzte der [mm] $n_1+1$ [/mm] vielen Zahlen [mm]\tau^{-1}(0),[/mm] ... ,  [mm]\tau^{-1}(n_{1})[/mm] ?
Für einen allgemeinen Beweis sind [mm] $\tau^{-1}(i)$ [/mm] und [mm] $\tau^{-1}(j)$ [/mm] für [mm] $i,j\in\{0,1,\ldots,n_1,n_1+1\}$ [/mm] zu betrachten.

Aus [mm] $\tau^{-1}(0)=\tau^{-1}(n_1)$ [/mm] folgt mit der Injektivität von [mm] $\tau^{-1}$ [/mm] sofort [mm] $0=n_1$. [/mm]


> Dann ist [mm]\tau(\tau^{-1}(0))[/mm] = 0 und [mm]\tau(\tau^{-1}(n_{1}))[/mm]
> = [mm]n_{1}.[/mm]

So kannst du auch zu [mm] $0=n_1$ [/mm] gelangen, das ist eine weitere mögliche Argumentation.


> Somit wäre doch insgesamt die Möglichkeit gar nicht
> gegeben, dass die Elemente von A paarweise gleich sind,

(Achtung: Die Verneinung von "paarweise ungleich" ist nicht etwa "paarweise gleich".)

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Umordnung von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 Fr 06.11.2015
Autor: X3nion

Hallo Tobias!

Vielen Dank dir für die Antworten, ich habe nun verstanden um was es hier geht! :)

Viele Grüße,
Christian

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