Ungleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Do 27.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | Lösen Sie nach n auf:
[mm] (\wurzel{3n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{3n-2}) [/mm] < x
Hinweis: Erweitern Sie mittel der 3. Binomischen Formel. |
Hallo ihr Lieben,
diese schöne Aufgabe haben wir bekommen und ich bekomme sie nicht aufgelöst! Die Lösung habe ich (habe es bei Wolfram Alpha eingetippt, ich der Hoffnung, dass in der Aufgabe ein Schreibfehler ist ;)):
[mm] \bruch{16+x^4}{12x^2}
[/mm]
____________________
Ich hab grad während des Schreibens hier (endlich) eine Idee gehabt und mehrere Fehler eingebaut und korrigiert, komme aber leider trotzdem nicht ganz auf das Ergebnis. Ich hoffe, ich hab in der hier geposteten Rechnung keine Fehler eingebaut durch das umschreiben.
____________________
Meine Rechnung:
[mm] (\wurzel{3n+2} [/mm] - [mm] \wurzel{3n-2}) [/mm] < x
[mm] \gdw \bruch{3n+2-3n+2}{(\wurzel{3n+2} + \wurzel{3n-2})} [/mm] < x
[mm] \gdw [/mm] 4 < [mm] x*(\wurzel{3n+2} [/mm] + [mm] \wurzel{3n-2})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4}{x} [/mm] < [mm] (\wurzel{3n+2} [/mm] + [mm] \wurzel{3n-2})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4}{x} [/mm] < [mm] (3n+2)^{\bruch{1}{2}}+(3n-2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4}{x} [/mm] < [mm] ((3n+2)*(3n-2))^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{4}{x} [/mm] < [mm] (6n^2-4)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{16}{x^2} [/mm] < [mm] 6n^2 [/mm] - 4
[mm] \gdw \bruch{16}{x^2}+4 [/mm] < [mm] 6n^2
[/mm]
[mm] \gdw n^2 [/mm] > [mm] \bruch{16+4x^2}{6x^2}
[/mm]
Jetzt habe ich eine Wurzel zu viel, im Nenner fehlt der Faktor 2 und im Zähler [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] ... na ja, ich näher mich langsam.
Tipps, Tricks, Hinweise, Korrekturen? Alles ist erwünscht : )
Beste Grüße
Fin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 27.11.2014 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie nach n auf:
>
> [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] - [mm]\wurzel{3n-2})[/mm] < x
>
> Hinweis: Erweitern Sie mittel der 3. Binomischen Formel.
> Hallo ihr Lieben,
>
> diese schöne Aufgabe haben wir bekommen und ich bekomme
> sie nicht aufgelöst! Die Lösung habe ich (habe es bei
> Wolfram Alpha eingetippt, ich der Hoffnung, dass in der
> Aufgabe ein Schreibfehler ist ;)):
>
> [mm]\bruch{16+x^4}{12x^2}[/mm]
>
> ____________________
>
> Ich hab grad während des Schreibens hier (endlich) eine
> Idee gehabt und mehrere Fehler eingebaut und korrigiert,
> komme aber leider trotzdem nicht ganz auf das Ergebnis. Ich
> hoffe, ich hab in der hier geposteten Rechnung keine Fehler
> eingebaut durch das umschreiben.
> ____________________
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] - [mm]\wurzel{3n-2})[/mm] < x
>
> [mm]\gdw \bruch{3n+2-3n+2}{(\wurzel{3n+2} + \wurzel{3n-2})}[/mm] <
> x
>
> [mm]\gdw[/mm] 4 < [mm]x*(\wurzel{3n+2}[/mm] + [mm]\wurzel{3n-2})[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] < [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] + [mm]\wurzel{3n-2})[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] <
> [mm](3n+2)^{\bruch{1}{2}}+(3n-2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Hallo, wieso machst du plötzlich nachfolgend aus einer Summe von Wurzeln ein Produkt von Wurzeln?
Du müsstest JETZT (unter Betrachtung der binomischen Formel) die Ungleichung quadrieren.
Dabei entsteht u.a. wieder eine Wurzel. Stelle nach dieser Wurzel um und quadriere erneut.
Gruß Abakus
>
> [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] < [mm]((3n+2)*(3n-2))^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] < [mm](6n^2-4)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{16}{x^2}[/mm] < [mm]6n^2[/mm] - 4
>
> [mm]\gdw \bruch{16}{x^2}+4[/mm] < [mm]6n^2[/mm]
>
> [mm]\gdw n^2[/mm] > [mm]\bruch{16+4x^2}{6x^2}[/mm]
>
> Jetzt habe ich eine Wurzel zu viel, im Nenner fehlt der
> Faktor 2 und im Zähler [mm]\bruch{1}{4}x^2[/mm] ... na ja, ich
> näher mich langsam.
> Tipps, Tricks, Hinweise, Korrekturen? Alles ist erwünscht
> : )
>
> Beste Grüße
> Fin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 27.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
> > Lösen Sie nach n auf:
> >
> > [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] - [mm]\wurzel{3n-2})[/mm] < x
> >
> > Hinweis: Erweitern Sie mittel der 3. Binomischen
> Formel.
> > Hallo ihr Lieben,
> >
> > diese schöne Aufgabe haben wir bekommen und ich
> bekomme
> > sie nicht aufgelöst! Die Lösung habe ich (habe es bei
> > Wolfram Alpha eingetippt, ich der Hoffnung, dass in der
> > Aufgabe ein Schreibfehler ist ;)):
> >
> > [mm]\bruch{16+x^4}{12x^2}[/mm]
> >
> > ____________________
> >
> > Ich hab grad während des Schreibens hier (endlich)
> eine
> > Idee gehabt und mehrere Fehler eingebaut und
> korrigiert,
> > komme aber leider trotzdem nicht ganz auf das Ergebnis.
> Ich
> > hoffe, ich hab in der hier geposteten Rechnung keine
> Fehler
> > eingebaut durch das umschreiben.
> > ____________________
> >
> > Meine Rechnung:
> >
> > [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] - [mm]\wurzel{3n-2})[/mm] < x
> >
> > [mm]\gdw \bruch{3n+2-3n+2}{(\wurzel{3n+2} + \wurzel{3n-2})}[/mm]
> <
> > x
> >
> > [mm]\gdw[/mm] 4 < [mm]x*(\wurzel{3n+2}[/mm] + [mm]\wurzel{3n-2})[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] < [mm](\wurzel{3n+2}[/mm] + [mm]\wurzel{3n-2})[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \bruch{4}{x}[/mm] <
> > [mm](3n+2)^{\bruch{1}{2}}+(3n-2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> Hallo, wieso machst du plötzlich nachfolgend aus einer
> Summe von Wurzeln ein Produkt von Wurzeln?
> Du müsstest JETZT (unter Betrachtung der binomischen
> Formel) die Ungleichung quadrieren.
> Dabei entsteht u.a. wieder eine Wurzel. Stelle nach dieser
> Wurzel um und quadriere erneut.
> Gruß Abakus
Oh je, ganz doofer Fehler. Sorry. Also dann so weiter. Allerdings hatte ich das zuvor auch schon probiert und hänge dann auch wieder. Aber ich tippe es erstmal ab, nicht das ich wieder Fehler drin hab:
[mm] \gdw \bruch{16}{x^2} [/mm] < 3n+2 + [mm] 2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2} [/mm] + 3n-2
[mm] \gdw \bruch{16}{x^2} [/mm] - 6n < [mm] 2*\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}
[/mm]
Ob ich nun durch 2 teile oder nicht, kommt für mich auf das Gleiche. Ich lasse es mal und multipliziere lieber alles aus.
[mm] \gdw (\bruch{16}{x^2} [/mm] - [mm] 6n)^2 [/mm] < [mm] 36n^2 [/mm] - 16
Hier bekomme ich dann das x und n nicht "auseinander". Also links binomische Formel ergibt "in der Mitte" ein x-n-Gemisch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 27.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Oh je, ganz doofer Fehler. Sorry. Also dann so weiter.
> Allerdings hatte ich das zuvor auch schon probiert und
> hänge dann auch wieder. Aber ich tippe es erstmal ab,
> nicht das ich wieder Fehler drin hab:
>
> [mm]\gdw \bruch{16}{x^2}[/mm] < 3n+2 + [mm]2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}[/mm] + 3n-2
Das Ziel ist die dritte binomische Formel. Da lauert doch etwas unter den Wurzeln. Zu blöd, dass es zwei getrennte Wurzeln sind. Aber, da gibt es eine Rechenregel für Wurzeln ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 27.11.2014 | | Autor: | Fincayra |
> > Oh je, ganz doofer Fehler. Sorry. Also dann so weiter.
> > Allerdings hatte ich das zuvor auch schon probiert und
> > hänge dann auch wieder. Aber ich tippe es erstmal ab,
> > nicht das ich wieder Fehler drin hab:
> >
> > [mm]\gdw \bruch{16}{x^2}[/mm] < 3n+2 + [mm]2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}[/mm] +
> 3n-2
> Das Ziel ist die dritte binomische Formel. Da lauert doch
> etwas unter den Wurzeln. Zu blöd, dass es zwei getrennte
> Wurzeln sind. Aber, da gibt es eine Rechenregel für
> Wurzeln ....
Den Hinweis verstehe ich gar nicht. Also klar, ich kann [mm]2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}[/mm] [mm] =2\wurzel{(3n+2)*(3n-2)} [/mm] = [mm] 2\wurzel{9n^2-4} [/mm] machen aber das hilft mir nicht weiter... glaube ich... ich komme zumindest damit aktuell nicht weiter.
Gute Nacht und soweit schonmal Danke : )
Grüße
Fin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Fr 28.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > > Oh je, ganz doofer Fehler. Sorry. Also dann so weiter.
> > > Allerdings hatte ich das zuvor auch schon probiert und
> > > hänge dann auch wieder. Aber ich tippe es erstmal ab,
> > > nicht das ich wieder Fehler drin hab:
> > >
> > > [mm]\gdw \bruch{16}{x^2}[/mm] < 3n+2 + [mm]2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}[/mm] +
> > 3n-2
> > Das Ziel ist die dritte binomische Formel. Da lauert
> doch
> > etwas unter den Wurzeln. Zu blöd, dass es zwei getrennte
> > Wurzeln sind. Aber, da gibt es eine Rechenregel für
> > Wurzeln ....
>
> Den Hinweis verstehe ich gar nicht. Also klar, ich kann
> [mm]2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}[/mm] [mm]=2\wurzel{(3n+2)*(3n-2)}[/mm] =
> [mm]2\wurzel{9n^2-4}[/mm] machen aber das hilft mir nicht weiter...
> glaube ich... ich komme zumindest damit aktuell nicht
> weiter.
Du hattest doch:
$ [mm] \bruch{16}{x^2}<3n+2+2\wurzel{3n+2}\wurzel{3n-2}+3n-2 [/mm] $
Rechts zusammenfassen
$ [mm] \bruch{16}{x^2}<6n+2\wurzel{(3n+2)(3n-2)} [/mm] $
Sortieren und Wurzel zusammenfassen
$ [mm] \bruch{16}{x^2}-6n<2\wurzel{9n^{2}-4} [/mm] $
Durch zwei teilen
$ [mm] \bruch{8}{x^2}-3n<\wurzel{9n^{2}-4} [/mm] $
Quadrieren
[mm] \left(\bruch{8}{x^2}-3n\right)^{2}<9n^{2}-4
[/mm]
Wenn du nun die binomische Formel auflöst, solltest du sehen, dass sich im nächsten Schritt das 9n² schön herauseliminieren lässt. Danach sollte es kein Problem mehr sein, das dann nach n zu lösen.
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> Gute Nacht und soweit schonmal Danke : )
> Grüße
> Fin
Marius
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> [mm]\gdw (\bruch{16}{x^2}[/mm] - [mm]6n)^2[/mm] < [mm]36n^2[/mm] - 16
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> Hier bekomme ich dann das x und n nicht "auseinander". Also
> links binomische Formel ergibt "in der Mitte" ein
> x-n-Gemisch.
Hallo,
aber am Ende [mm] +36n^2, [/mm] womit Du dann die [mm] n^2 [/mm] los bist.
Damit solltest Du dann ohne Problem nach n auflösen können.
LG Angela
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