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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Urbildmenge affiner Unterraum
Urbildmenge affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Urbildmenge affiner Unterraum: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Do 19.10.2017
Autor: mathe_thommy

Aufgabe
Sei [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung zwischen den K-Vektorräumen V und W. Für ein festes aber beliebiges $w /in W$ bezeichne [mm] $f^{-1}(\{w\})$ [/mm] die Urbildmenge von $w$. Zu zeigen ist nun, dass [mm] $f^{-1}(\{w\})$ [/mm] ein affiner Unterraum in V ist.

Guten Tag!

Wir haben einen affinen Unterraum wie folgt definiert: Sei [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ein affiner Raum über E. Eine Teilmenge [mm] $\mathcal{F}\subset \mathcal{E}$ [/mm] heißt affiner Unterraum, wenn ein $A [mm] \in \mathcal{E}$ [/mm] existiert mit [mm] $\vartheta_{A}(\mathcal{F})=\{\vartheta_{A}(f):f\in \mathcal{F}\}$ [/mm] ist Unterraum von E oder [mm] $\mathcal{F}=\emptyset$. [/mm]

Wende ich diese Definition nun auf die Aufgabe an, wähle ich zunächst ein beliebig aber festes [mm] $v_{0} \in f^{-1}(\{w\})$ [/mm] und erhalte damit die Abbildung [mm] $\vartheta_{v_{0}}(f^{-1})=\vartheta_{v_{0}}(v:f(v)=w)=\{v-v_{0}:v\in f^{-1}(\{w\})\}$. [/mm]

Nun müsste ich nachweisen, dass es sich bei dieser Menge um einen Unterraum von W handelt. Mir ist aber nicht klar, wie ich mit dieser Menge nun die beiden Voraussetzungen für einen Unterraum nachweise. Hierbei würde ich mich sehr über einen Denkanstoß freuen!

Mit besten Grüßen
mathe_thommy

        
Bezug
Urbildmenge affiner Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 19.10.2017
Autor: fred97

Also: ein affiner Unteraum A von V ist wie folgt definiert:


es ist $A= [mm] \emptyset$ [/mm] oder

es ex. [mm] v_0 \in [/mm] V und es ex. ein Untervektorraum U von V mit

[mm] $A=v_0+U$, [/mm]

wobei [mm] $v_0+U=\{v_0+u: u \in U\}$. [/mm]

Zu Deiner Aufgabe:

Fall 1: w [mm] \notin [/mm] Bild(f). Dann ist $ [mm] f^{-1}(\{w\}) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $, fertig !

Fall 2. w [mm] \in [/mm] Bild(f). Dann wähle (irgendein) [mm] v_0 \in f^{-1}(\{w\}) [/mm] und zeige

[mm] $f^{-1}(\{w\})=v_0 [/mm] +Kern(f)$.



Bezug
                
Bezug
Urbildmenge affiner Unterraum: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Do 19.10.2017
Autor: mathe_thommy

Hallo Fred,

besten Dank für deine Antwort! Wenn ich die Menge [mm] $\vartheta_{v_{0}}$ [/mm] aus meinem vorherigen Post nutze und dann $f$ auf ein Element davon anwende, erhalte ich folgendes:
[mm] $f(v-v_{0})=f(v)-f(v_{0})=w-w=0$. [/mm]

Damit habe ich doch gezeigt, dass [mm] $\vartheta_{v_{0}}$ [/mm] der Kern von $f$ ist. Aus der Linearen Algebra weiß ich, dass der Kern ein Unterraum von V ist. Damit habe ich die Bedingungen meiner Definition erfüllt und gezeigt, dass [mm] $f^{-1}(\{w\})$ [/mm] ein affiner Unterraum ist. Oder steckt da ein Denkfehler drin?

Beste Grüße
mathe_thommy

Bezug
                        
Bezug
Urbildmenge affiner Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Do 19.10.2017
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> besten Dank für deine Antwort! Wenn ich die Menge
> [mm]\vartheta_{v_{0}}[/mm] aus meinem vorherigen Post nutze und dann
> [mm]f[/mm] auf ein Element davon anwende, erhalte ich folgendes:
>  [mm]f(v-v_{0})=f(v)-f(v_{0})=w-w=0[/mm].
>  
> Damit habe ich doch gezeigt, dass [mm]\vartheta_{v_{0}}[/mm] der
> Kern von [mm]f[/mm] ist. Aus der Linearen Algebra weiß ich, dass
> der Kern ein Unterraum von V ist. Damit habe ich die
> Bedingungen meiner Definition erfüllt und gezeigt, dass
> [mm]f^{-1}(\{w\})[/mm] ein affiner Unterraum ist. Oder steckt da ein
> Denkfehler drin?

nein, alles bestens

>  
> Beste Grüße
>  mathe_thommy


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