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Forum "Uni-Stochastik" - Var(X) mit X=UV
Var(X) mit X=UV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Var(X) mit X=UV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 So 12.02.2017
Autor: Noya

Aufgabe
Seien U und V unabhängig, U gleichverteilt auf [0,1] und V gleichverteilt auf [mm] \{0,1\}. [/mm]
Berechne die Varianz von X:=UV

Hallöle ihr Lieben,

ich habe Probleme mit der Aufgabe.
[mm] Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2 [/mm]


da U,V unabhängig ist gilt ja E(UV)=E(U)E(V)

also
[mm] Var(X)=Var(UV)=E((UV)^2)-(E(UV))^2=E(U^2V^2)-(E(U)E(V))^2 [/mm] = [mm] E(U^2)E(V^2)-E(U)^2E(V)^2 [/mm]
oder?

Nun habe ich Probleme mit der gleichverteilheit.

Auf einem Intervall [a,b] wäre ja die Dichtefkt

[mm] f_X(x)= \begin{cases} \bruch{1}{b-a}, & \mbox{für } x \in [a,b] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}, [/mm] aber [mm] \{0,1\} [/mm] ist ja eine Menge. Wie soll ich das verstehen?

[mm] f_U(u)= \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0,1] \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]

und könnte damit zb. E(U) [mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0} [/mm] u du = 1 bestimmen

[mm] E(U^2)=\integral_{-\infty}^{\infty}u^2f_U du=\integral^{1}_{0} u^2 [/mm] du= [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Ist das so korrekt??
Aber ich habe Probleme mit V gleichverteilt auf [mm] \{0,1\}. [/mm]
Vielen Dank ? schönes Wochenende noch :)


        
Bezug
Var(X) mit X=UV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 So 12.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

V ist eine diskrete Zufallsvariable, damit auch [mm] $V^2$. [/mm]
Wie ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable definiert?

Wie würdest du denn den EW von V berechnen?
Was ist also der EW von [mm] $V^2$? [/mm]

> und könnte damit zb. E(U) $ [mm] =\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0} [/mm] $ u du = 1 bestimmen

und hier schaust du dir das letzte Gleichheitszeichen noch mal an

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Var(X) mit X=UV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 So 12.02.2017
Autor: Noya


> Hiho,
>  
> V ist eine diskrete Zufallsvariable, damit auch [mm]V^2[/mm].
>  Wie ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable
> definiert?
>  

[mm] E(X)=\sum_{i \in I}x_i P(X=x_i) [/mm]

> Wie würdest du denn den EW von V berechnen?
>  Was ist also der EW von [mm]V^2[/mm]?

habe gerade im Skript nachgeguckt, da haben wir gesagt dass der erwartungswert einer diskreten ZV  wie folgt definiert ist:

[mm] E(V)=\bruch{b-a}{2}=\bruch{1}{2} [/mm]
wobei die allg. Form auch ginge dann wäre [mm] E(X)=0*\bruch{1}{2}*1*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2} [/mm]

okay. [mm] P(V=0)=P(V=1)=\bruch{1}{2} [/mm] wenn nun [mm] W=V^2 [/mm] wäre würde ja trotzdem noch gelten [mm] P(X=0)=P(X=1)=\bruch{1}{2} [/mm] oder? Und somit wäre [mm] E(V^2)=E(W)=\bruch{1}{2} [/mm]  oder?

Wenn dem so wäre, dann wäre [mm] Var(UV)=\bruch{5}{48} [/mm]

>  
> > und könnte damit zb. E(U)
> [mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}uf_U du=\integral^{1}_{0}[/mm] u du
> = 1 bestimmen
>
> und hier schaust du dir das letzte Gleichheitszeichen noch
> mal an

ach nicht aufgepasst. Danke!
[mm] E(U)=\bruch{1}{2} [/mm]

>  
> Gruß,
>  Gono


Bezug
                        
Bezug
Var(X) mit X=UV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 So 12.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]E(X)=\sum_{i \in I}x_i P(X=x_i)[/mm]

[ok]

>  
> > Wie würdest du denn den EW von V berechnen?
>  >  Was ist also der EW von [mm]V^2[/mm]?
>  
> habe gerade im Skript nachgeguckt, da haben wir gesagt dass
> der erwartungswert einer diskreten ZV  wie folgt definiert
> ist:
>  
> [mm]E(V)=\bruch{b-a}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  wobei die allg. Form auch ginge dann wäre
> [mm]E(X)=0*\bruch{1}{2}*1*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> okay. [mm]P(V=0)=P(V=1)=\bruch{1}{2}[/mm] wenn nun [mm]W=V^2[/mm] wäre
> würde ja trotzdem noch gelten [mm]P(X=0)=P(X=1)=\bruch{1}{2}[/mm]
> oder? Und somit wäre [mm]E(V^2)=E(W)=\bruch{1}{2}[/mm]  oder?

[ok]
  

> Wenn dem so wäre, dann wäre [mm]Var(UV)=\bruch{5}{48}[/mm]

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
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