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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Vererbung der Unabhängigkeit
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Vererbung der Unabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Fr 18.04.2014
Autor: nbt

Aufgabe
Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] ein W'Raum und [mm] $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ [/mm] eine unabhängige Familie von [mm] Unter-$\sigma$-Algebren $\mathcal{F}_i\subseteq\mathcal [/mm] A$. [mm] $(J_k)_{k\in K}$ [/mm] sei eine Familie von paarweise disjunkten Indexmengen [mm] $J_k\subseteq [/mm] I$. Zeigen Sie, dass auch [mm] $(\sigma(\bigcup_{i\in J_k} \mathcal{F}_i))_{k\in K}$ [/mm] eine unabhängige Familie von [mm] Unter-$\sigma$-Algebren [/mm] ist.

Hi,

es ist also zu zeigen, dass jede Familie [mm] $(A_k)_{k\in K}$, $A_k\in\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i$, [/mm] unabhängig ist.
Ich hab Probleme mit der Aufgabe, weil für [mm] $k\in [/mm] K$ im Allgemeinen [mm] $\bigcup_{k\in K}\mathcal{F}_i$ [/mm] nicht durchschnittsstabil ist, ich also das Dynkin Lemma, das bei solchen Aufgaben ziemlich praktisch ist, nicht anwenden kann.

Hättet Ihr da einen Tipp, wie man anfängt?

Vielen Dank für die Hilfe,
nbt



        
Bezug
Vererbung der Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:38 Mo 21.04.2014
Autor: tobit09

Hallo nbt!


> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] ein W'Raum und
> [mm](\mathcal{F}_i)_{i\in I}[/mm] eine unabhängige Familie von
> Unter-[mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{F}_i\subseteq\mathcal A[/mm].
> [mm](J_k)_{k\in K}[/mm] sei eine Familie von paarweise disjunkten
> Indexmengen [mm]J_k\subseteq I[/mm]. Zeigen Sie, dass auch
> [mm](\sigma(\bigcup_{i\in J_k} \mathcal{F}_i))_{k\in K}[/mm] eine
> unabhängige Familie von Unter-[mm]\sigma[/mm]-Algebren ist.


> es ist also zu zeigen, dass jede Familie [mm](A_k)_{k\in K}[/mm],
> [mm]A_k\in\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i[/mm], unabhängig ist.

Ja, wenn ihr schon wisst, dass für eine unabhängige Familie

     [mm] $(\mathcal{E}_k)_{k\in K}$ [/mm]

von Teilmengen [mm] $\mathcal{E}_k\subseteq\mathcal{A}$ [/mm] auch

    [mm] $(\sigma(\mathcal{E}_k))_{k\in K}$ [/mm]

unabhängig ist.


>  Ich hab Probleme mit der Aufgabe, weil für [mm]k\in K[/mm] im
> Allgemeinen [mm]\bigcup_{k\in K}\mathcal{F}_i[/mm]

[mm] $\bigcup_{i\in J_k}$ [/mm] meinst du, nicht [mm] $\bigcup_{k\in K}$. [/mm]

> nicht
> durchschnittsstabil ist, ich also das Dynkin Lemma, das bei
> solchen Aufgaben ziemlich praktisch ist, nicht anwenden
> kann.
>
> Hättet Ihr da einen Tipp, wie man anfängt?

Betrachte anstelle von [mm] $\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i$ [/mm] die durchschnittsstabile (!) Menge

     [mm] $\mathcal{E}_k:=\{\bigcap_{i\in J_{k}'}A_i\;|\;\emptyset\not=J_{k}'\subseteq J_k\text{ endlich},A_i\in\mathcal{F}_i\text{ für alle }i\in J_k'\}$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Vererbung der Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 Di 22.04.2014
Autor: nbt

Danke Tobias für den Tipp, habs hinbekommen

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