Verständnisfrage Besselprozess < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:32 Di 29.11.2016 | | Autor: | matze2 |
Hallo,
meine Verständnisfrage bezieht sich auf ein Skript über Besselprozesse von Greg Lawler:
http://www.math.uchicago.edu/~lawler/bessel.pdf
Dort habe ich Probleme mit dem letzten Satz auf Seite 2:
Sei [mm]W_t = (W_t^1,\dots,W_t^d)[/mm] eine (Standard-)d-dimensionale Brownsche Bewegung und
[mm]X_t = |W_t| = |W_t|_2 = \left(\sum\limits_{j=1}^d \left(W_t^j\right)^2\right)^{1/2}[/mm]
ihr (euklidischer) Betrag.
Nun wird behauptet:
[mm]dX_t^2=\sum_{j=1}^d d[(W_t^j)^2] = 2\sum_{j=1}^d W_t^j dW_t^j + d \;dt[/mm],
was man auch schreiben können soll als
[mm]dX_t^2 = d \; dt + 2X_t dZ_t[/mm]
mit
[mm]Z_t = \sum_{j=1}^d\int_0^t\frac{|W_s^j|}{X_s} dW_s^j[/mm].
Mir ist nicht so klar, warum man das so umschreiben kann. Ich dachte, es ist
[mm]X_t dZ_t = \sum_{j=1}^d |W_t^j| dW_t^j[/mm].
Aber dann müsste ja zum Beispiel
[mm]|W_t^1| dW_t^1 = W_t^1 dW_t^1[/mm]
sein.
Wo liegt also mein Denkfehler?
Vielen Dank schonmal für Hinweise :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Do 22.12.2016 | | Autor: | huddel |
Ich denke auch, dass [mm] $Z_t [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^d \int_0^t \frac{W_t^j}{X_t}dW_t^j$ [/mm] heißen sollte. der Betrag ergibt für mich an dieser Stelle auch keinen Sinn...
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