www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Vollständige Induktion
Vollständige Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vollständige Induktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Aufgabe
<br>
Zeigen Sie [mm] \sum_{i=1}^{n} i^{3} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2} (n\in \IN)[/mm]




Ich würde hier mit der vollständigen Induktion arbeiten.
Allerding weiß ich absolut nicht, wie Ich mit [mm] \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm] umzugehen habe. Im Skript finde ich auch nichts dazu.
[mm] \vektor{n+1 \\ 2} * \vektor{n+1 \\ 2}[/mm] damit hab ich angefangen..
Gruß,
LeFlair

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Fr 02.02.2018
Autor: leduart

Hallo
wenn du umschreibst gilt
[mm] \vektor{n+1 \\ 2}=\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
vielleicht siehst du dann auch dass das  [mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] ist, was sich auch für die vollst. Induktion anbietet
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Okay,
also mein Induktionsanfang:
[mm] \sum_{i=1}^{1}i^{3} = 1 = \frac{1+2+1}{4} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

Ist dies soweit korrekt?
Denn im Induktionsschritt komm ich nicht auf den gleichen Term.
Gruß
LeFlair

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Fr 02.02.2018
Autor: Fulla


> Okay,
> also mein Induktionsanfang:
> [mm]\sum_{i=1}^{1}i^{3} = 1 = \frac{1+2+1}{4} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4} = \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

>

> Ist dies soweit korrekt?

Hallo LeFlair,

das [mm]n[/mm] hat in dieser Gleichung nichts zu suchen. Du setzt hier ja [mm]n=1[/mm]. Formulieren kannst du das z.B. so:

Induktionsanfang: [mm]n=1[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^1 i^3=1 = {2 \choose 2 }^2[/mm]

Oder auch beide Seiten separat ausrechnen und feststellen: Es kommt dasselbe raus.


Lieben Gruß,
Fulla

> Denn im Induktionsschritt komm ich nicht auf den gleichen
> Term.
> Gruß
> LeFlair


Bezug
                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

Eine Sache ist mir nicht klar:
wie gehe Ich hiermit um?
[mm] \vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

Ich muss ja für den Induktionsschritt n+1 für n einstezen und dann steht am ende

[mm] \vektor{n+2 \\ 2}^{2}[/mm] wie rechne ich das jetzt aus?
Das ist mein Problem weshalb ich nicht weiterkomme.

Bzw
[mm] (\summe_{i=1}^{n} i)^2 [/mm] die klammern sind um Das ganze Summenzeichen gesetzt.. nehm ich trotzdem nur das i zum  quadrat?

Bezug
                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Eine Sache ist mir nicht klar:
> wie gehe Ich hiermit um?
> [mm]\vektor{n+1 \\ 2}^{2}[/mm]

>

> Ich muss ja für den Induktionsschritt n+1 für n einstezen
> und dann steht am ende

>

> [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^{2}[/mm] wie rechne ich das jetzt aus?
> Das ist mein Problem weshalb ich nicht weiterkomme.
> Bzw
> [mm](\summe_{i=1}^{n} i)^2[/mm] die klammern sind um Das ganze
> Summenzeichen gesetzt.. nehm ich trotzdem nur das i zum
> quadrat?

Es ist ein bisschen mühsam, deinen Überlegungen zu folgen. Du greifst ständig Ideen auf (das ist gut), führst sie aber nicht zu Ende (das ist nicht gut).

Dass

[mm] \sum_{k=1}^{n}i^3=\left ( \sum_{k=1}^{n}i \right )^2 [/mm]

gilt, ist zwar offensichtlich, aber das darf man hier in meinen Augen nicht einfach unbewiesen verwenden.

Für den Induktionsschluss von n auf n+1 musst du so vorgehen:

[mm] \sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3 [/mm]

Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der rechten Seite den Term

[mm] \vektor{n+2 \\ 2}^2 [/mm]

erzeugen.

Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn du von vornherein den Tipp von leduart beherzigst, nämlich

[mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]

zu benutzen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair

>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der rechten
> Seite den Term

>

> [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^2[/mm]

>

> erzeugen.

>

> Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn du
> von vornherein den Tipp von leduart beherzigst, nämlich

>

> [mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]

>

> zu benutzen.

[mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]
da würd ich nun rechnen:
[mm]{n+1 \choose 2}^2 = \frac{n(n+1)}{2} * \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}[/mm] das nun

[mm]+ (n+1)^{3} = \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4}[/mm]
Danach zusammenrechnen.. aber das sieht alles nicht richtig aus..
Ich glaube ich wende den Tipp von leduart falsch an!?

Gruß
LeFlair

Bezug
                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> >
> > [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> >
> > Jetzt musst du durch geeignete Umformungen aus der
> rechten
> > Seite den Term
> >
> > [mm]\vektor{n+2 \\ 2}^2[/mm]
> >
> > erzeugen.
> >
> > Und da würdest du dir einen großen Gefallen tun, wenn
> du
> > von vornherein den Tipp von leduart beherzigst,
> nämlich
> >
> > [mm]{n+1 \choose 2}= \frac{n*(n+1)}{2}[/mm]
> >
> > zu benutzen.

>

> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}i^3= \sum_{k=1}^{n}i^3+(n+1)^3={n+1 \choose 2}^2+(n+1)^3[/mm]

>

> da würd ich nun rechnen:
> [mm]{n+1 \choose 2}^2 = \frac{n(n+1)}{2} * \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}[/mm]
> das nun

>

> [mm]+ (n+1)^{3} = \frac{4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4}[/mm]
> Danach
> zusammenrechnen..

Sei mal ein großes Stück mutiger! Das ist bis hierhin völlig richtig. Bildlich gesprochen hast du vor, Schwimmen zu gehen und stehst jetzt am Beckenrand. Und was machst du? Anstatt zu springen, ... ;-)

> aber das sieht alles nicht richtig aus..

Doch wie gesagt: es ist richtig. Jetzt musst du das zusammenfassen und danach den Zähler geeignet faktorisieren. Dazu solltest du dir klar machen, welche Faktoren du da gerne stehen hättest. Wenn du beim Faktorisieren unsicher bist, dann mache Nebenrechnungen vermittelst Polynomdivsion, ansonsten ergänze geeignet so dass du jeweils gewünschte Faktoren zum Ausklammern erhältst.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Fr 02.02.2018
Autor: LeFlair


> Sei mal ein großes Stück mutiger! Das ist bis hierhin
> völlig richtig. Bildlich gesprochen hast du vor, Schwimmen
> zu gehen und stehst jetzt am Beckenrand. Und was machst du?
> Anstatt zu springen, ... ;-)

>

> > aber das sieht alles nicht richtig aus..

>

> Doch wie gesagt: es ist richtig. Jetzt musst du das
> zusammenfassen und danach den Zähler geeignet
> faktorisieren. Dazu solltest du dir klar machen, welche
> Faktoren du da gerne stehen hättest. Wenn du beim
> Faktorisieren unsicher bist, dann mache Nebenrechnungen
> vermittelst Polynomdivsion, ansonsten ergänze geeignet so
> dass du jeweils gewünschte Faktoren zum Ausklammern
> erhältst.

>
>

> Gruß, Diophant

Oh mein Gott..
Ich bin so doof.. Ich hatte wirklich alles richtig.. Auf meinem Schmierzettel hatte ich für [mm] \vektor{n+1 \\ 2}^2[/mm]
schon alles ausgerechnet. Es passte nur nicht weil ich im Induktionsschritt nicht mit [mm] $n+1^{3}§ [/mm] gerechnet habe.

Diophant Ich danke dir! Deine Art zu erklären ist Top!
Danke Danke Dnake!

Gruß
LeFlair

Bezug
                                                                        
Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Fr 02.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Oh mein Gott..
> Ich bin so doof..

Nein! Sind wir mal ehrlich: solche Dinge passieren uns allen hier, auch den routiniertesten Leuten.

Nur das mit dem Mut, das habe ich ernst gemeint: erst aufgeben, wenn es einen klaren Grund dafür gibt, den du für dich selbst auch benennen kannst!

> Diophant Ich danke dir! Deine Art zu erklären ist Top!
> Danke Danke Dnake!

Das hört man natürlich gerne. Und es ist selbstredend gern geschehen!


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 44m 1. SimpleDude
GraphTheo/Zusammenhängender Zufallsgraph
Status vor 1h 28m 14. Noya
FunkAna/Menge relativ kompakt
Status vor 1h 44m 4. Diophant
SStochKomb/Kombinatorik
Status vor 1h 58m 4. Diophant
SGeradEbene/Senkrechte Gerade zu Ebene
Status vor 3h 37m 20. Diophant
CafeVH/Zwischen Proton und Elektron
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de